Dès l’Antiquité, des savants grecs ont compris que la Terre était ronde et ont même mesuré sa taille avec une précision remarquable, sans quitter l’Égypte. Ce chapitre retrace ces mesures, de l’Antiquité aux satellites, et apprend à se repérer et à calculer des distances à la surface d’une sphère.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Comprendre et refaire le raisonnement d’Ératosthène
- Calculer la longueur d’un arc de méridien ou de parallèle
- Connaître le principe de la triangulation et l’histoire de la définition du mètre
- Se repérer avec la latitude et la longitude
1. Une Terre ronde dès l’Antiquité
- L’ombre de la Terre sur la Lune lors des éclipses est toujours un arc de cercle (argument rapporté par Aristote).
- Un navire qui s’éloigne disparaît d’abord par sa coque, puis par son mât.
- On ne voit pas les mêmes étoiles selon qu’on est au nord ou au sud.
2. La mesure d’Ératosthène (III^{e} siècle av. J.-C.)
- Au solstice d’été, à midi, le Soleil éclaire le fond d’un puits à Syène : il est à la verticale.
- Au même moment, à Alexandrie, plus au nord, un bâton vertical (gnomon) donne une ombre : les rayons font un angle d’environ 7,2° avec la verticale.
- Les rayons du Soleil étant considérés comme parallèles, cet angle est égal à l’angle au centre de la Terre entre Alexandrie et Syène.
- 7,2° = de 360° : la circonférence de la Terre vaut 50 fois la distance Alexandrie-Syène, estimée à 5 000 stades.
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Circonférence d’Ératosthène
- C = 50 × 5 000 = 250 000 stades
- Avec un stade d’environ 157 m (valeur discutée) : C ≈ 39 000 km
Valeur actuelle : environ 40 000 km. Selon la valeur retenue pour le stade, l’erreur est de quelques pourcents.
3. Triangulation et définition du mètre
Pour mesurer une grande distance sans la parcourir, on la découpe en triangles dont on mesure précisément les angles et une seule longueur (la base). La relation entre angles et côtés d’un triangle permet de calculer toutes les autres longueurs.
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Entre 1792 et 1798, Delambre et Méchain mesurent par triangulation l’arc de méridien de Dunkerque à Barcelone. Le mètre est alors défini comme la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre. Un méridien complet mesure donc environ 40 000 km.
Aujourd’hui, satellites et GPS montrent que la Terre est légèrement aplatie aux pôles : son rayon équatorial (≈ 6 378 km) dépasse son rayon polaire (≈ 6 357 km). Le rayon moyen vaut environ 6 371 km.
4. Se repérer et calculer des distances
Latitude : Angle entre le plan de l’équateur et la direction du point depuis le centre de la Terre ; de 0° (équateur) à 90° N ou 90° S (pôles).
Longitude : Angle entre le méridien de Greenwich et le méridien du point ; de 0° à 180° E ou O.
longueur d’un arc = R × α (α en radians) = 2πR × (α en degrés)
Distance entre deux villes d’un même méridien
Deux villes situées sur le même méridien ont pour latitudes 43° N et 49° N (R = 6 371 km).
- α = 49 − 43 = 6°
- L = 2π × 6 371 × ≈ 667 km
Les deux villes sont distantes d’environ 667 km.
À retenir
- Ératosthène : angle de 7,2° entre Alexandrie et Syène, soit de la circonférence.
- Arc et angle au centre sont proportionnels : L = 2πR × .
- Triangulation : mesurer des angles et une base, puis calculer (loi des sinus).
- Le mètre a été défini à la fin du XVIIIe siècle à partir du méridien : un méridien ≈ 40 000 km.
- Le plus court chemin entre deux points d’une sphère suit un grand cercle.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.