Pourquoi deux notes séparées d’une octave semblent-elles « la même note » ? Pourquoi un piano compte-t-il douze touches par octave ? Depuis Pythagore, on sait que les intervalles musicaux agréables correspondent à des rapports simples de fréquences. Construire une gamme, c’est résoudre un problème… de mathématiques.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Définir un intervalle comme un rapport de fréquences
- Construire la gamme de Pythagore par quintes successives
- Comprendre pourquoi le cycle des quintes ne se referme pas (comma pythagoricien)
- Calculer des fréquences dans la gamme tempérée
1. Intervalles et octave
Intervalle : L’intervalle entre deux sons de fréquences f₁ < f₂ est le rapport (et non la différence).
| Intervalle | Rapport de fréquences |
|---|---|
| Octave | 2 |
| Quinte | |
| Quarte |
Deux notes à l’octave portent le même nom : la₃ (440 Hz) et la₄ (880 Hz). Une gamme est une suite finie de notes réparties dans une octave, qui se répète ensuite d’octave en octave.
2. La gamme de Pythagore
On part d’une note (do, de fréquence f) et on monte de quinte en quinte (× ). Chaque fois qu’on dépasse l’octave, on divise par 2 pour revenir dans l’intervalle [f ; 2f[.
| Note | Calcul | Rapport à do |
|---|---|---|
| do | — | 1 |
| sol | ||
| ré | ()² ÷ 2 | |
| la | ()³ ÷ 2 | |
| mi | ()⁴ ÷ 4 | |
| si | ()⁵ ÷ 4 |
- Avec 5 notes (do, ré, mi, sol, la) : gamme pentatonique, utilisée dans de nombreuses musiques du monde.
- En ajoutant si et fa (obtenu par une quinte descendante, rapport ) : gamme heptatonique à 7 notes (do ré mi fa sol la si).
- En poursuivant jusqu’à 12 quintes : 12 notes par octave (gamme chromatique).
3. Un cycle qui ne se referme pas : le comma
Pour que le cycle des quintes se referme, il faudrait trouver des entiers p et q non nuls tels que ()ᵖ = 2q, c’est-à-dire 3ᵖ = 2p+q. C’est impossible : 3ᵖ est impair alors que 2p+q est pair.
Douze quintes et sept octaves
- ()¹² ≈ 129,75
- 2⁷ = 128
- ≈ 1,0136
Douze quintes dépassent sept octaves d’un petit intervalle, le comma pythagoricien (≈ 1,0136).
4. La gamme tempérée
Pour pouvoir jouer dans toutes les tonalités, on divise l’octave en 12 demi-tons égaux. Le rapport r d’un demi-ton vérifie r¹² = 2.
r = 21/12 ≈ 1,0595
Le mi au-dessus du la₃ (440 Hz)
Le mi₄ est 7 demi-tons au-dessus du la₃.
- f = 440 × 27/12
- 27/12 ≈ 1,4983
- f ≈ 659,3 Hz
Dans la gamme de Pythagore, la quinte exacte donnerait 440 × 1,5 = 660 Hz : l’écart est très faible.
La quinte tempérée (≈ 1,4983) est légèrement plus petite que la quinte juste ( = 1,5). Le tempérament égal, qui s’est imposé à partir du XVIIIe siècle, sacrifie un peu de justesse pour gagner la liberté de transposer.
À retenir
- Un intervalle est un rapport de fréquences ; enchaîner des intervalles = multiplier les rapports.
- Octave : 2 ; quinte : ; quarte : .
- Gamme de Pythagore : quintes successives ramenées dans l’octave (pentatonique, heptatonique, 12 notes).
- ()ᵖ = 2q est impossible : 12 quintes dépassent 7 octaves d’un comma (≈ 1,0136).
- Gamme tempérée : 12 demi-tons égaux de rapport 21/12 ≈ 1,0595.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.