Bilan de mathématiques

Exercice 1

Réponse : -24

On détermine d’abord le signe : il y a trois facteurs négatifs, c’est un nombre impair, donc le produit est négatif. On multiplie ensuite les distances à zéro.

1. Signe : 3 facteurs négatifs (nombre impair) → résultat négatif
2. 3 × 4 × 2 = 24
3. (−3) × (−4) × (−2) = −24

Exercice 2

Réponse : 512

Pour soustraire deux fractions, on les écrit avec un même dénominateur (ici 12, multiple commun de 3 et de 4), puis on soustrait les numérateurs.

1. 23 = 2 × 43 × 4 = 812
2. 14 = 1 × 34 × 3 = 312
3. 812 − 312 = 512

Exercice 3

Réponse : 23

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. L’inverse de 98 est 89.

1. 34 ÷ 98 = 34 × 89
2. = 3 × 84 × 9 = 2436
3. On simplifie par 12 : 2436 = 23

Exercice 4

Réponse : 3,2 × 10⁻⁴

En notation scientifique, on écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. Ici a = 3,2 : pour passer de 3,2 à 0,000 32, on décale la virgule de 4 rangs vers la gauche, donc on multiplie par 10⁻⁴.

1. 0,000 32 = 3,2 × 0,000 1
2. 0,000 1 = 10⁻⁴
3. Donc 0,000 32 = 3,2 × 10⁻⁴
4. 32 × 10⁻⁵ est bien égal à 0,000 32, mais ce n’est pas une notation scientifique car 32 n’est pas compris entre 1 et 10.

Exercice 5

Réponse : 2² × 3 × 7

On divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7… tant que c’est possible. Tous les facteurs de la décomposition doivent être premiers : 4, 21, 42 et 14 ne le sont pas.

1. 84 ÷ 2 = 42
2. 42 ÷ 2 = 21
3. 21 ÷ 3 = 7, et 7 est premier
4. 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

Exercice 6

Réponse : x² + x − 6

On utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. On réduit ensuite les termes en x.

1. (x + 3)(x − 2) = x × x + x × (−2) + 3 × x + 3 × (−2)
2. = x² − 2x + 3x − 6
3. = x² + x − 6

Exercice 7

Réponse : 4

On regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de x.

1. On soustrait 2x des deux côtés : 3x − 3 = 9
2. On ajoute 3 des deux côtés : 3x = 12
3. On divise par 3 : x = 4
4. Vérification : 5 × 4 − 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17 ✓

Exercice 8

Réponse : 19,2 €

C’est une quatrième proportionnelle : on peut passer par le prix d’un kilogramme ou faire un produit en croix.

1. Prix d’un kilogramme : 12 ÷ 5 = 2,40 €
2. Prix de 8 kg : 8 × 2,40 = 19,20 €
3. Produit en croix : 12 × 85 = 965 = 19,2

Exercice 9

Réponse : 92 €

Augmenter de 15 %, c’est ajouter 15 % du prix au prix de départ, ou multiplier directement par 1,15.

1. 15 % de 80 = 15100 × 80 = 12
2. Nouveau prix : 80 + 12 = 92 €
3. Autre méthode : 80 × 1,15 = 92

Exercice 10

Réponse : 7 min

On range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant. Avec 7 valeurs (effectif impair), la médiane est la valeur du milieu, la 4e.

1. Série rangée : 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12
2. Il y a 3 valeurs avant et 3 valeurs après la 4e valeur.
3. La médiane est 7 min.

Exercice 11

Réponse : 11

Dans une moyenne pondérée, chaque note compte autant de fois que son coefficient : on additionne les produits note × coefficient, puis on divise par la somme des coefficients.

1. 12 × 2 + 15 × 1 + 9 × 3 = 24 + 15 + 27 = 66
2. Somme des coefficients : 2 + 1 + 3 = 6
3. Moyenne : 66 ÷ 6 = 11

Exercice 12

Réponse : 0,65

« Ne pas tirer une boule rouge » est l’événement contraire de « tirer une boule rouge ». Leurs probabilités ont pour somme 1.

1. P(non A) = 1 − P(A)
2. 1 − 0,35 = 0,65

Exercice 13

Réponse : 100 km/h

La vitesse moyenne est v = dt, avec la durée exprimée en heures. Attention : 1 h 30 min ne s’écrit pas 1,30 h.

1. 30 min = 3060 h = 0,5 h, donc 1 h 30 min = 1,5 h
2. v = 150 ÷ 1,5
3. v = 100 km/h

Exercice 14

Réponse : 20 m/s

72 km/h, c’est 72 000 m parcourus en 3 600 s. On divise donc par 3,6 pour passer des km/h aux m/s.

1. 72 km = 72 000 m et 1 h = 3 600 s
2. 72 000 ÷ 3 600 = 20
3. Raccourci : 72 ÷ 3,6 = 20 m/s

Exercice 15

Réponse : 120 cm³

Le volume d’une pyramide est V = 13 × aire de la base × hauteur.

1. Aire de la base : 6 × 6 = 36 cm²
2. V = 13 × 36 × 10
3. V = 12 × 10 = 120 cm³

Exercice 16

Réponse : 47,1 cm³

Le volume d’un cône est V = 13 × π × r² × h : c’est le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

1. Aire de la base : π × 3² = 9π cm²
2. V = 13 × 9π × 5 = 15π
3. 15π ≈ 47,12, donc V ≈ 47,1 cm³

Exercice 17

Réponse : 10 cm

Le triangle est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse [BC] est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

1. BC² = AB² + AC²
2. BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
3. BC = √100 = 10 cm

Exercice 18

Réponse : Faux

On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Ils ne sont pas égaux, donc le triangle n’est pas rectangle (conséquence du théorème de Pythagore).

1. Plus grand côté : 11² = 121
2. Somme des carrés des deux autres : 6² + 8² = 36 + 64 = 100
3. 121 ≠ 100, donc le triangle n’est pas rectangle.

Exercice 19

Réponse : 6 cm

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles, avec M sur [AB] et N sur [AC] : d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles.

1. AMAB = ANAC = MNBC
2. 35 = AN10
3. AN = 3 × 105 = 6 cm

Exercice 20

Réponse : 5 cm

Dans le triangle rectangle en A, pour l’angle ABC, [AB] est le côté adjacent et [BC] l’hypoténuse. On a donc cos ABC = ABBC.

1. cos ABC = ABBC, donc AB = BC × cos ABC
2. AB = 10 × cos 60° = 10 × 0,5
3. AB = 5 cm

Exercice 21

Réponse : (1 ; 6)

Une translation fait subir à tous les points le même déplacement. De A à B, on avance de 3 en abscisse et de 1 en ordonnée : on applique le même déplacement à C.

1. Abscisses : 4 − 1 = 3 ; ordonnées : 3 − 2 = 1
2. Abscisse de l’image : −2 + 3 = 1
3. Ordonnée de l’image : 5 + 1 = 6
4. L’image de C est le point (1 ; 6).

Exercice 22

Réponse : 12 cm

Dans deux triangles semblables, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. Le coefficient d’agrandissement se calcule avec deux côtés correspondants connus.

1. Coefficient : DE ÷ AB = 8 ÷ 4 = 2
2. EF = BC × 2 = 6 × 2
3. EF = 12 cm

Exercice 23

Réponse : 8

On suit le programme ligne par ligne, en notant la valeur de chaque variable après chaque instruction.

1. Ligne 1 : x = 4
2. Ligne 2 : y = 4 × 3 = 12 (x vaut toujours 4)
3. Ligne 3 : x = 12 − 4 = 8
4. À la fin : x vaut 8 (et y vaut 12).

Exercice 24

Réponse : 32

« Répéter jusqu’à » s’arrête dès que la condition devient vraie. On double n à chaque tour et on vérifie à chaque fois si n dépasse 20.

1. Départ : n = 1
2. Tours : n = 2, puis 4, puis 8, puis 16 (16 > 20 est faux, on continue)
3. Tour suivant : n = 32, et 32 > 20 est vrai : la boucle s’arrête.
4. À la fin : n = 32

Exercice 25

Réponse : 7

On teste la condition : si elle est vraie, on exécute le bloc « alors », sinon le bloc « sinon ». Ce programme affiche la distance à zéro du nombre.

1. x = −7, donc la condition x < 0 est vraie.
2. On exécute « mettre r à −x » : r = −(−7) = 7
3. Le programme affiche 7.