Exercice 1 sur 10
CalculRappel : le nombre de k-uplets d’éléments d’un ensemble à n éléments (ordre important, répétitions autorisées) est nᵏ.
Combien de codes de 3 chiffres (de 0 à 9) peut-on former, les répétitions étant autorisées ?
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Algèbre et géométrie : dénombrement et géométrie dans l’espace
10 exercices progressifs, des bases jusqu’au niveau attendu, avec une correction détaillée.
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Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Exercice 1
Rappel : le nombre de k-uplets d’éléments d’un ensemble à n éléments (ordre important, répétitions autorisées) est nᵏ.
Combien de codes de 3 chiffres (de 0 à 9) peut-on former, les répétitions étant autorisées ?Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2
Rappel : le nombre de k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments est n × (n − 1) × … × (n − k + 1).
Une course réunit 8 coureurs. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) différents sont possibles ?Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
Rappel : le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments (sans ordre) est C(n, k) = .
De combien de façons peut-on choisir 2 représentants parmi 5 personnes ?Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4
Rappel : dans un repère orthonormé, AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA) et la distance AB = √(x² + y² + z²) où (x ; y ; z) sont les coordonnées de AB⃗.
Calcule la distance AB avec A(1 ; 2 ; 3) et B(3 ; 3 ; 5).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Rappel : u⃗ et v⃗ sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v⃗ = ku⃗ (les coordonnées sont proportionnelles).
Vrai ou faux : u⃗(2 ; −4 ; 6) et v⃗(−1 ; 2 ; 3) sont colinéaires.VraiFaux
Exercice 6
Rappel : dans un repère orthonormé, u⃗(x ; y ; z) · v⃗(x′ ; y′ ; z′) = xx′ + yy′ + zz′.
Calcule u⃗ · v⃗ avec u⃗(1 ; 2 ; −2) et v⃗(3 ; −1 ; 4).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Rappel : u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗ · v⃗ = 0.
Vrai ou faux : u⃗(2 ; 1 ; −1) et v⃗(1 ; −1 ; 1) sont orthogonaux.VraiFaux
Exercice 8 — Complète les trous.
Rappel : un plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c) a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 ; on trouve d grâce à un point du plan.
On cherche une équation du plan passant par A(1 ; 1 ; 1) et de vecteur normal n⃗(2 ; −1 ; 4). Complète avec des nombres.L’équation est de la forme x − y + z + d = 0. Comme A est dans le plan : 2 − 1 + 4 + d = 0, donc d = .
Exercice 9
Rappel : une droite passant par A(xA ; yA ; zA) et dirigée par u⃗(a ; b ; c) a pour représentation paramétrique x = xA + at ; y = yA + bt ; z = zA + ct (t ∈ ℝ).
La droite d a pour représentation x = 2 + t ; y = −1 + 3t ; z = 4 − t. Le point M(4 ; 5 ; 2) est sur d : pour quelle valeur de t ?Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 10
La droite d a pour représentation paramétrique x = 1 + 2t ; y = t ; z = 3 − t (t ∈ ℝ) et le plan P a pour équation x + y + z − 7 = 0.
Donne l’abscisse x du point d’intersection de d et de P.
Aide : remplace x, y et z dans l’équation de P, résous en t, puis calcule x.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
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Retravailler : Algèbre et géométrie : dénombrement et géométrie dans l’espace
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : 1000
Chaque chiffre du code peut être choisi de 10 façons, indépendamment des autres (principe multiplicatif).
- 10 choix pour chacune des 3 positions.
- 10 × 10 × 10 = 10³ = 1 000
Exercice 2
Réponse : 336
L’ordre compte (1er, 2e, 3e) et un coureur ne peut pas occuper deux places : ce sont des 3-uplets d’éléments distincts.
- 8 choix pour la 1re place, puis 7 pour la 2e, puis 6 pour la 3e.
- 8 × 7 × 6 = 336
Exercice 3
Réponse : 10
Choisir {Ana, Bilal} ou {Bilal, Ana}, c’est le même groupe : l’ordre ne compte pas, on utilise une combinaison.
- C(5, 2) = =
- C(5, 2) = 10
Exercice 4
Réponse : 3
On calcule d’abord les coordonnées du vecteur AB⃗, puis sa norme.
- AB⃗(3 − 1 ; 3 − 2 ; 5 − 3) = (2 ; 1 ; 2)
- AB = √(2² + 1² + 2²) = √9
- AB = 3
Exercice 5
Réponse : Faux
Il faudrait un même coefficient k pour les trois coordonnées.
- Abscisses : −1 = k × 2 donne k = −.
- Ordonnées : 2 = k × (−4) donne aussi k = −.
- Cotes : il faudrait 3 = − × 6 = −3, ce qui est faux.
- Les vecteurs ne sont pas colinéaires (ils le seraient avec v⃗(−1 ; 2 ; −3)).
Exercice 6
Réponse : -7
On multiplie les coordonnées deux à deux, puis on additionne. Attention aux signes.
- 1 × 3 = 3 ; 2 × (−1) = −2 ; (−2) × 4 = −8
- u⃗ · v⃗ = 3 − 2 − 8 = −7
Exercice 7
Réponse : Vrai
On calcule le produit scalaire : s’il est nul, les vecteurs sont orthogonaux.
- u⃗ · v⃗ = 2 × 1 + 1 × (−1) + (−1) × 1
- u⃗ · v⃗ = 2 − 1 − 1 = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.
Exercice 8
Réponse : 2 · 4 · −5
Les coefficients de x, y et z sont les coordonnées du vecteur normal ; d se calcule avec le point A.
- 2x − y + 4z + d = 0
- En A(1 ; 1 ; 1) : 2 × 1 − 1 + 4 × 1 + d = 5 + d = 0, donc d = −5.
- Une équation du plan est 2x − y + 4z − 5 = 0.
Exercice 9
Réponse : 2
On cherche t avec une coordonnée, puis on vérifie que cette même valeur convient pour les deux autres.
- x : 2 + t = 4, donc t = 2.
- y : −1 + 3 × 2 = 5 ✓
- z : 4 − 2 = 2 ✓
- M correspond au paramètre t = 2.
Exercice 10
Réponse : 4
Un point de d appartient à P lorsque ses coordonnées vérifient l’équation du plan : cela donne une équation d’inconnue t.
- (1 + 2t) + t + (3 − t) − 7 = 0
- 2t − 3 = 0, donc t = 1,5.
- x = 1 + 2 × 1,5 = 4 (et y = 1,5 ; z = 1,5).
- Vérification : 4 + 1,5 + 1,5 − 7 = 0.
Ces exercices reprennent le dénombrement (k-uplets, arrangements, combinaisons) puis la géométrie dans l’espace : coordonnées, colinéarité, produit scalaire, équations de plans et représentations paramétriques de droites. Fais un petit schéma au brouillon quand cela t’aide à visualiser la situation.
Exercices corrigés : 0 / 10
Exercice 2 sur 10
CalculRappel : le nombre de k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments est n × (n − 1) × … × (n − k + 1).
Une course réunit 8 coureurs. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) différents sont possibles ?Exercice 3 sur 10
CalculRappel : le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments (sans ordre) est C(n, k) = .
De combien de façons peut-on choisir 2 représentants parmi 5 personnes ?Exercice 4 sur 10
CalculRappel : dans un repère orthonormé, AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA) et la distance AB = √(x² + y² + z²) où (x ; y ; z) sont les coordonnées de AB⃗.
Calcule la distance AB avec A(1 ; 2 ; 3) et B(3 ; 3 ; 5).Exercice 5 sur 10
Vrai ou fauxRappel : u⃗ et v⃗ sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v⃗ = ku⃗ (les coordonnées sont proportionnelles).
Vrai ou faux : u⃗(2 ; −4 ; 6) et v⃗(−1 ; 2 ; 3) sont colinéaires.Exercice 6 sur 10
CalculRappel : dans un repère orthonormé, u⃗(x ; y ; z) · v⃗(x′ ; y′ ; z′) = xx′ + yy′ + zz′.
Calcule u⃗ · v⃗ avec u⃗(1 ; 2 ; −2) et v⃗(3 ; −1 ; 4).Exercice 7 sur 10
Vrai ou fauxRappel : u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗ · v⃗ = 0.
Vrai ou faux : u⃗(2 ; 1 ; −1) et v⃗(1 ; −1 ; 1) sont orthogonaux.Exercice 8 sur 10
Texte à trousRappel : un plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c) a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0 ; on trouve d grâce à un point du plan.
On cherche une équation du plan passant par A(1 ; 1 ; 1) et de vecteur normal n⃗(2 ; −1 ; 4). Complète avec des nombres.Exercice 9 sur 10
CalculRappel : une droite passant par A(xA ; yA ; zA) et dirigée par u⃗(a ; b ; c) a pour représentation paramétrique x = xA + at ; y = yA + bt ; z = zA + ct (t ∈ ℝ).
La droite d a pour représentation x = 2 + t ; y = −1 + 3t ; z = 4 − t. Le point M(4 ; 5 ; 2) est sur d : pour quelle valeur de t ?Exercice 10 sur 10
CalculLa droite d a pour représentation paramétrique x = 1 + 2t ; y = t ; z = 3 − t (t ∈ ℝ) et le plan P a pour équation x + y + z − 7 = 0.
Donne l’abscisse x du point d’intersection de d et de P.
Aide : remplace x, y et z dans l’équation de P, résous en t, puis calcule x.