On étend à l’espace les outils de la géométrie plane : les vecteurs, les coordonnées et la colinéarité. Une nouveauté apparaît : la coplanarité. Dans l’espace, deux droites peuvent n’être ni parallèles, ni sécantes !
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Manipuler les vecteurs de l’espace et leurs coordonnées
- Caractériser une droite et un plan par des vecteurs
- Reconnaître des vecteurs colinéaires ou coplanaires
- Déterminer les positions relatives de droites et de plans
1. Vecteurs de l’espace
Les vecteurs de l’espace se définissent comme dans le plan (translation) et se manipulent avec les mêmes règles : relation de Chasles, multiplication par un réel, somme.
Vecteurs colinéaires : u⃗ et v⃗ sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v⃗ = ku⃗ (ou u⃗ = kv⃗). Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires.
Vecteurs coplanaires : u⃗, v⃗ et w⃗ sont coplanaires si l’un d’eux s’écrit comme combinaison linéaire des deux autres, par exemple w⃗ = au⃗ + bv⃗. Quatre points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si AB⃗, AC⃗ et AD⃗ sont coplanaires.
2. Droites et plans
- Une droite est déterminée par un point A et un vecteur directeur u⃗ non nul : M appartient à la droite ⟺ AM⃗ = tu⃗ pour un réel t.
- Un plan est déterminé par un point A et deux vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗ (on dit qu’ils dirigent le plan) : M appartient au plan ⟺ AM⃗ = su⃗ + tv⃗ pour des réels s et t.
3. Bases, repères et coordonnées
Base de l’espace : Trois vecteurs non coplanaires (i⃗ ; j⃗ ; k⃗) forment une base : tout vecteur s’écrit de façon unique u⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗. Avec une origine O, on obtient un repère (O ; i⃗, j⃗, k⃗).
- AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).
- Le milieu de [AB] a pour coordonnées ( ; ; ).
- u⃗(x ; y ; z) et v⃗(x′ ; y′ ; z′) sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.
u⃗(1 ; 2 ; −1) et v⃗(−2 ; −4 ; 2)
- −2 × 1 = −2, −2 × 2 = −4, −2 × (−1) = 2
- Donc v⃗ = −2u⃗.
u⃗ et v⃗ sont colinéaires.
4. Positions relatives
| Coplanaires | Non coplanaires |
|---|---|
| Sécantes (un point commun) ou parallèles (strictement ou confondues) | Aucun point commun, et pourtant pas parallèles |
- Droite et plan : la droite est sécante au plan (un point commun), ou parallèle au plan (contenue dedans ou sans point commun).
- Deux plans : sécants selon une droite, ou parallèles (strictement ou confondus).
- Une droite est parallèle à un plan si et seulement si un vecteur directeur de la droite est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan.
À retenir
- Colinéaires : v⃗ = ku⃗ ; coplanaires : w⃗ = au⃗ + bv⃗.
- Droite : un point et un vecteur directeur ; plan : un point et deux vecteurs non colinéaires.
- Base : trois vecteurs non coplanaires.
- Deux droites de l’espace peuvent être non coplanaires.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.