Exercice 1 sur 8
QCMLes vecteurs u⃗(1 ; 2 ; −1) et v⃗(−2 ; −4 ; 2) sont :
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Exercices : vecteurs, droites et plans de l’espace
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Vecteurs, droites et plans de l’espace — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8
Toutes les coordonnées sont données dans un repère de l’espace.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Les vecteurs u⃗(1 ; 2 ; −1) et v⃗(−2 ; −4 ; 2) sont :
- colinéaires, avec v⃗ = −2u⃗
- colinéaires, avec v⃗ = 2u⃗
- non colinéaires
- orthogonaux
Exercice 2
A(1 ; 3 ; −2) et B(5 ; −1 ; 4). Donne l’abscisse du milieu I de [AB].
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3
A(1 ; 2 ; 3) et B(4 ; 0 ; 5). Donne la deuxième coordonnée (ordonnée) du vecteur AB⃗.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Dans l’espace, deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes.
VraiFaux
Exercice 5 — Coche la bonne réponse.
Un plan de l’espace est déterminé par :
- un point et un vecteur non nul
- un point et deux vecteurs non colinéaires
- deux points distincts
- trois vecteurs coplanaires
Exercice 6 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque configuration au nombre de points communs.
- 1. Deux droites sécantes
- 2. Deux droites non coplanaires
- 3. Deux plans sécants
- 4. Deux plans confondus
- A. Un seul point
- B. Aucun point
- C. Un plan entier
- D. Une droite de points
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Si w⃗ = u⃗ + 3v⃗, alors les vecteurs u⃗, v⃗ et w⃗ sont coplanaires.
VraiFaux
Exercice 8
On donne A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 1), C(0 ; 1 ; 1) et D(2 ; 3 ; 5). Montre que A, B, C et D sont coplanaires.
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Vecteurs, droites et plans de l’espace — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : colinéaires, avec v⃗ = −2u⃗
Chaque coordonnée de v⃗ est celle de u⃗ multipliée par −2 : v⃗ = −2u⃗.
Exercice 2
Réponse : 3
xI = = = 3. (Le milieu est I(3 ; 1 ; 1).)
Exercice 3
Réponse : -2
yB − yA = 0 − 2 = −2. Le vecteur est AB⃗(3 ; −2 ; 2).
Exercice 4
Réponse : Faux
Elles peuvent être non coplanaires : aucun point commun sans être parallèles. Exemple : dans un cube ABCDEFGH, les droites (AB) et (CG).
Exercice 5
Réponse : un point et deux vecteurs non colinéaires
Un point et un vecteur non nul déterminent une droite. Pour un plan, il faut un point et deux vecteurs non colinéaires (ou trois points non alignés).
Exercice 6
Réponse : 1 → A · 2 → B · 3 → D · 4 → C
Deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun ; deux plans sécants se coupent selon une droite.
Exercice 7
Réponse : Vrai
w⃗ est combinaison linéaire de u⃗ et v⃗ : c’est la définition de la coplanarité.
Exercice 8
Exemple de réponse : AB⃗(1 ; 0 ; 1), AC⃗(0 ; 1 ; 1) et AD⃗(2 ; 3 ; 5).
On cherche a et b tels que AD⃗ = aAB⃗ + bAC⃗ : sur x, a = 2 ; sur y, b = 3 ; sur z, a + b = 5, ce qui est vérifié.
Donc AD⃗ = 2AB⃗ + 3AC⃗ : les vecteurs sont coplanaires, et A, B, C, D sont coplanaires.Deux coordonnées donnent a et b ; la troisième sert de vérification. Comme AB⃗ et AC⃗ ne sont pas colinéaires, si elle n’était pas vérifiée, les points ne seraient pas coplanaires.
- Tu as calculé les coordonnées des trois vecteurs.
- Tu as trouvé a et b puis vérifié la troisième équation.
Toutes les coordonnées sont données dans un repère de l’espace.
Exercices corrigés : 0 / 8
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Exercice 2 sur 8
CalculA(1 ; 3 ; −2) et B(5 ; −1 ; 4). Donne l’abscisse du milieu I de [AB].
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 8
CalculA(1 ; 2 ; 3) et B(4 ; 0 ; 5). Donne la deuxième coordonnée (ordonnée) du vecteur AB⃗.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 8
Vrai ou fauxDans l’espace, deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 8
QCMUn plan de l’espace est déterminé par :
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 8
AssociationAssocie chaque configuration au nombre de points communs.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 8
Vrai ou fauxSi w⃗ = u⃗ + 3v⃗, alors les vecteurs u⃗, v⃗ et w⃗ sont coplanaires.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 8
Question ouverteOn donne A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 1), C(0 ; 1 ; 1) et D(2 ; 3 ; 5). Montre que A, B, C et D sont coplanaires.
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