Combien de codes de carte bancaire, de podiums, de mains de cartes possibles ? Dénombrer, c’est compter sans tout écrire. Il s’agit surtout de bien identifier la situation : l’ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles possibles ?
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Utiliser les principes additif et multiplicatif
- Dénombrer les k-uplets, les k-uplets d’éléments distincts et les permutations
- Dénombrer les parties d’un ensemble et les combinaisons
- Connaître et utiliser les propriétés des coefficients binomiaux
1. Principes de base
- Principe additif : si A et B sont disjoints, Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B).
- Principe multiplicatif : Card(A × B) = Card(A) × Card(B). Plus généralement, le nombre de k-uplets d’un produit cartésien est le produit des cardinaux.
k-uplet : Liste ordonnée de k éléments (a₁ ; a₂ ; … ; ak), avec répétitions possibles. Si E a n éléments, il y a nᵏ k-uplets d’éléments de E.
Codes à 4 chiffres
- Chaque chiffre : 10 choix, répétitions permises.
10⁴ = 10 000 codes
2. Arrangements et permutations
k-uplet d’éléments distincts : Liste ordonnée sans répétition (aussi appelée arrangement). Pour 1 ≤ k ≤ n, leur nombre est n × (n − 1) × … × (n − k + 1) = .
Permutation : Un n-uplet d’éléments distincts de E (n = Card E) : une façon d’ordonner tous les éléments. Il y en a n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, avec la convention 0! = 1.
Podium (or, argent, bronze) parmi 8 coureurs
- L’ordre compte et un coureur ne peut pas occuper deux places.
- 8 × 7 × 6
336 podiums possibles
3. Combinaisons
Combinaison : Une partie à k éléments d’un ensemble à n éléments : l’ordre ne compte pas, pas de répétition. Leur nombre est le coefficient binomial « k parmi n », noté ici C(n, k) (dans les manuels, on l’écrit n au-dessus de k, entre parenthèses).
C(n, k) =
- C(n, 0) = C(n, n) = 1 et C(n, 1) = n.
- Symétrie : C(n, k) = C(n, n − k).
- Relation de Pascal : pour 0 ≤ k ≤ n − 1, C(n, k) + C(n, k + 1) = C(n + 1, k + 1).
- Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ parties, et C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ.
Choisir un groupe de 3 élèves parmi 10
- L’ordre ne compte pas : c’est une combinaison.
- C(10, 3) = =
120 groupes
4. Choisir le bon modèle
| Situation | Ordre ? | Répétition ? | Nombre |
|---|---|---|---|
| k-uplets | oui | oui | nᵏ |
| k-uplets d’éléments distincts | oui | non | |
| Permutations | oui (tous les éléments) | non | n! |
| Combinaisons | non | non | C(n, k) |
À retenir
- k-uplets : nᵏ ; k-uplets d’éléments distincts : ; permutations : n!.
- Combinaisons (sans ordre) : C(n, k) = .
- C(n, k) = C(n, n − k) et relation de Pascal.
- Un ensemble à n éléments a 2ⁿ parties.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.