Pour calculer dans l’espace, on décrit les droites et les plans par des équations. Une droite se décrit par une représentation paramétrique (un point qui se déplace selon un paramètre t) et un plan par une équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. Ces outils sont incontournables dans les sujets de bac.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Écrire et exploiter une représentation paramétrique de droite
- Déterminer une équation cartésienne de plan à partir d’un vecteur normal
- Étudier l’intersection d’une droite et d’un plan, ou de deux plans
- Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan et la distance associée
1. Représentation paramétrique d’une droite
Dans un repère, la droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u⃗(a ; b ; c) est l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que AM⃗ = tu⃗, t ∈ ℝ, c’est-à-dire :
x = xA + at ; y = yA + bt ; z = zA + ct, avec t ∈ ℝ
Droite passant par A(1 ; 2 ; 3) dirigée par u⃗(2 ; 0 ; −1)
- x = 1 + 2t ; y = 2 ; z = 3 − t (t ∈ ℝ)
- Pour t = 2, on obtient le point B(5 ; 2 ; 1) de la droite.
2. Équation cartésienne d’un plan
Équation cartésienne : Dans un repère orthonormé, un plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c) a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0. Réciproquement, si (a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0), une telle équation définit un plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c).
Plan passant par A(1 ; 0 ; 2) de vecteur normal n⃗(1 ; 2 ; −1)
- Équation de la forme x + 2y − z + d = 0.
- A appartient au plan : 1 + 0 − 2 + d = 0, donc d = 1.
x + 2y − z + 1 = 0
- Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan.
3. Intersections
Droite d : x = t ; y = 1 + t ; z = 2t et plan P : x + y + z − 9 = 0
- On remplace x, y, z dans l’équation du plan : t + (1 + t) + 2t − 9 = 0.
- 4t − 8 = 0, donc t = 2.
- On reporte t = 2 dans la représentation de d.
d coupe P au point I(2 ; 3 ; 4).
4. Projeté orthogonal sur un plan
Projeté de A(3 ; 1 ; 2) sur P : x + y + z − 3 = 0
- La droite passant par A et dirigée par n⃗(1 ; 1 ; 1) est orthogonale à P : x = 3 + t ; y = 1 + t ; z = 2 + t.
- Intersection avec P : (3 + t) + (1 + t) + (2 + t) − 3 = 0, soit 3t + 3 = 0, t = −1.
- H(2 ; 0 ; 1) et AH⃗(−1 ; −1 ; −1).
Distance de A à P : AH = √3
À retenir
- Droite : x = xA + at ; y = yA + bt ; z = zA + ct (t ∈ ℝ).
- Plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c) : ax + by + cz + d = 0.
- Intersection droite/plan : on injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan.
- Projeté orthogonal : intersection du plan et de la droite passant par le point, dirigée par n⃗.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.