Exercice 1 sur 8
QCMQuelle est une représentation paramétrique de la droite passant par A(1 ; 2 ; 3) et dirigée par u⃗(2 ; 0 ; −1) ?
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Exercices : représentations paramétriques et équations cartésiennes
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Représentations paramétriques et équations cartésiennes — S’entraîner
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Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Quelle est une représentation paramétrique de la droite passant par A(1 ; 2 ; 3) et dirigée par u⃗(2 ; 0 ; −1) ?
- x = 2 + t ; y = 0 + 2t ; z = −1 + 3t
- x = 1 + 2t ; y = 2 ; z = 3 − t
- x = 1 + 2t ; y = 2t ; z = 3 − t
- 2x − z + 1 = 0
Exercice 2 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Le point B(5 ; 2 ; 1) appartient à la droite d : x = 1 + 2t ; y = 2 ; z = 3 − t.
VraiFaux
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Un vecteur normal au plan d’équation 2x − y + 3z − 4 = 0 est :
- (2 ; −1 ; 3)
- (2 ; −1 ; −4)
- (−4 ; 3 ; −1)
- (2 ; 1 ; 3)
Exercice 4
Le plan passant par A(1 ; 0 ; 2) et de vecteur normal n⃗(1 ; 2 ; −1) a une équation x + 2y − z + d = 0. Donne d.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
La droite d : x = t ; y = 1 + t ; z = 2t coupe le plan P : x + y + z − 9 = 0 en un point I. Donne la cote (coordonnée z) de I.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Les plans d’équations 2x + y − z + 1 = 0 et 4x + 2y − 2z + 5 = 0 sont parallèles.
VraiFaux
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Le plan P : x + y + z = 0 est perpendiculaire au plan :
- x + y + z − 5 = 0
- x − y = 0
- 2x + 2y + 2z = 1
- x + y = 0
Exercice 8
Détermine le projeté orthogonal H du point A(3 ; 1 ; 2) sur le plan P : x + y + z − 3 = 0, puis la distance de A au plan P.
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Représentations paramétriques et équations cartésiennes — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : x = 1 + 2t ; y = 2 ; z = 3 − t
On ajoute aux coordonnées de A le produit t × coordonnées de u⃗ : x = 1 + 2t, y = 2 + 0t = 2, z = 3 − t.
Exercice 2
Réponse : Vrai
x = 5 donne t = 2 ; avec t = 2 : y = 2 et z = 3 − 2 = 1. Les trois équations sont vérifiées avec la même valeur t = 2.
Exercice 3
Réponse : (2 ; −1 ; 3)
Pour ax + by + cz + d = 0, le vecteur n⃗(a ; b ; c) est normal au plan : ici (2 ; −1 ; 3).
Exercice 4
Réponse : 1
A appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l’équation.
- 1 + 2 × 0 − 2 + d = 0
- d = 1
Exercice 5
Réponse : 4
On remplace dans l’équation du plan.
- t + 1 + t + 2t − 9 = 0
- 4t = 8, t = 2
- z = 2 × 2 = 4, et I(2 ; 3 ; 4)
Exercice 6
Réponse : Vrai
Les vecteurs normaux (2 ; 1 ; −1) et (4 ; 2 ; −2) sont colinéaires (le second est le double du premier) : les plans sont parallèles. Ils sont même strictement parallèles, car 2 × 1 ≠ 5.
Exercice 7
Réponse : x − y = 0
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. (1 ; 1 ; 1) · (1 ; −1 ; 0) = 0. Pour x + y = 0 : (1 ; 1 ; 1) · (1 ; 1 ; 0) = 2 ≠ 0.
Exercice 8
Exemple de réponse : n⃗(1 ; 1 ; 1) est normal à P. La droite Δ passant par A et dirigée par n⃗ a pour représentation : x = 3 + t ; y = 1 + t ; z = 2 + t.
H est l’intersection de Δ et P : (3 + t) + (1 + t) + (2 + t) − 3 = 0 ⟺ 3t + 3 = 0 ⟺ t = −1.
Donc H(2 ; 0 ; 1). AH⃗(−1 ; −1 ; −1) et AH = √3.
La distance de A au plan P est √3.Méthode classique du bac : droite orthogonale au plan passant par le point, puis intersection avec le plan.
- Tu as écrit la droite orthogonale à P passant par A.
- Tu as trouvé t = −1 et H(2 ; 0 ; 1).
- Tu as calculé AH = √3.
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
Exercices corrigés : 0 / 8
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Exercice 2 sur 8
Vrai ou fauxLe point B(5 ; 2 ; 1) appartient à la droite d : x = 1 + 2t ; y = 2 ; z = 3 − t.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 8
QCMUn vecteur normal au plan d’équation 2x − y + 3z − 4 = 0 est :
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 8
CalculLe plan passant par A(1 ; 0 ; 2) et de vecteur normal n⃗(1 ; 2 ; −1) a une équation x + 2y − z + d = 0. Donne d.
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CalculLa droite d : x = t ; y = 1 + t ; z = 2t coupe le plan P : x + y + z − 9 = 0 en un point I. Donne la cote (coordonnée z) de I.
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Vrai ou fauxLes plans d’équations 2x + y − z + 1 = 0 et 4x + 2y − 2z + 5 = 0 sont parallèles.
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QCMLe plan P : x + y + z = 0 est perpendiculaire au plan :
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 8
Question ouverteDétermine le projeté orthogonal H du point A(3 ; 1 ; 2) sur le plan P : x + y + z − 3 = 0, puis la distance de A au plan P.
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