Le produit scalaire, étudié en Première dans le plan, s’étend à l’espace. Il permet de calculer des longueurs et des angles, et surtout de traduire l’orthogonalité par un simple calcul : u⃗ · v⃗ = 0.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé de l’espace
- Calculer une norme, une distance, un angle
- Démontrer l’orthogonalité de deux droites ou d’une droite et d’un plan
- Utiliser un vecteur normal et déterminer un projeté orthogonal
1. Produit scalaire dans l’espace
Deux vecteurs de l’espace, représentés à partir d’un même point, sont toujours contenus dans un même plan : leur produit scalaire se définit donc dans ce plan, avec les mêmes formules qu’en Première.
- Pour u⃗ et v⃗ non nuls : u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(θ), où θ est l’angle géométrique entre u⃗ et v⃗ (si l’un est nul, u⃗ · v⃗ = 0).
- u⃗ · v⃗ = (‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²) (formule de polarisation).
- Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ ; (ku⃗) · v⃗ = k(u⃗ · v⃗).
u⃗ · v⃗ = xx′ + yy′ + zz′ et ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²)
u⃗(1 ; 2 ; −3) et v⃗(4 ; −1 ; 2)
- u⃗ · v⃗ = 1 × 4 + 2 × (−1) + (−3) × 2 = 4 − 2 − 6
u⃗ · v⃗ = −4
2. Orthogonalité
Vecteurs orthogonaux : u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗ · v⃗ = 0.
- Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (elles ne sont pas forcément sécantes ; si elles le sont, elles sont perpendiculaires).
- Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
- Théorème : une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Vecteur normal : Un vecteur non nul n⃗ est normal à un plan P s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires dirigeant P. Il est alors orthogonal à tout vecteur de P.
3. Projeté orthogonal et distances
Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal d’un point M sur un plan P (ou sur une droite d) est le point H de P (ou de d) tel que MH⃗ soit orthogonal à P (ou à d).
AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²)
Angle entre u⃗(1 ; 0 ; 1) et v⃗(0 ; 1 ; 1)
- u⃗ · v⃗ = 0 + 0 + 1 = 1
- ‖u⃗‖ = ‖v⃗‖ = √2
- cos(θ) = =
θ = 60°
À retenir
- Repère orthonormé : u⃗ · v⃗ = xx′ + yy′ + zz′.
- ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²).
- u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0.
- Droite ⊥ plan ⟺ droite ⊥ à deux droites sécantes du plan.
- Distance d’un point à un plan = distance au projeté orthogonal.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.