Exercice 1 sur 9
CalculCalcule u⃗ · v⃗ pour u⃗(1 ; 2 ; −3) et v⃗(4 ; −1 ; 2).
Aide d’ULU pour cet exerciceMathématiques · Terminale
Exercices : produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace
23 exercices avec correction détaillée, en 3 séries. Aucune inscription : ta progression reste sur ton appareil.
ULUMINE · Mathématiques · Terminale
Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 9
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
Exercice 1
Calcule u⃗ · v⃗ pour u⃗(1 ; 2 ; −3) et v⃗(4 ; −1 ; 2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2
Calcule la norme du vecteur u⃗(2 ; −1 ; 2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Lequel de ces vecteurs est orthogonal à u⃗(1 ; 1 ; 1) ?
- (1 ; 1 ; 0)
- (1 ; −1 ; 0)
- (2 ; 2 ; 2)
- (0 ; 0 ; 1)
Exercice 4
Pour quelle valeur de m les vecteurs u⃗(2 ; m ; 1) et v⃗(1 ; 3 ; −5) sont-ils orthogonaux ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
Calcule la distance AB avec A(1 ; 0 ; 2) et B(3 ; −2 ; 3).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à ce plan.
VraiFaux
Exercice 7
Détermine, en degrés, l’angle géométrique entre u⃗(1 ; 0 ; 1) et v⃗(0 ; 1 ; 1).
Écris tes calculs :
Réponse : ……………… °
Exercice 8
Soit A(2 ; −1 ; 5). Quelle est la distance du point A au plan (Oxy), d’équation z = 0 ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9
Dans le repère orthonormé (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗) d’un cube ABCDEFGH d’arête 1, on a B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1). Montre que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
ulumine.com — exercices corrigés gratuits
ULUMINE · Mathématiques · Terminale
Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : -4
u⃗ · v⃗ = xx′ + yy′ + zz′.
- 1 × 4 + 2 × (−1) + (−3) × 2 = 4 − 2 − 6 = −4
Exercice 2
Réponse : 3
‖u⃗‖ = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3.
Exercice 3
Réponse : (1 ; −1 ; 0)
(1 ; −1 ; 0) · (1 ; 1 ; 1) = 1 − 1 + 0 = 0. Les autres produits scalaires valent 2, 6 et 1.
Exercice 4
Réponse : 1
On écrit u⃗ · v⃗ = 0.
- 2 × 1 + 3m + 1 × (−5) = 0
- 3m − 3 = 0
- m = 1
Exercice 5
Réponse : 3
AB = √(2² + (−2)² + 1²) = √9 = 3.
Exercice 6
Réponse : Vrai
C’est le théorème de caractérisation de l’orthogonalité d’une droite et d’un plan.
Exercice 7
Réponse : 60 °
cos(θ) = .
- u⃗ · v⃗ = 1
- ‖u⃗‖ = ‖v⃗‖ = √2
- cos(θ) = , donc θ = 60°
Exercice 8
Réponse : 5
Le projeté orthogonal de A sur le plan (Oxy) est H(2 ; −1 ; 0), car AH⃗(0 ; 0 ; −5) est orthogonal à i⃗ et j⃗.
- AH = √(0² + 0² + 5²) = 5
Exercice 9
Exemple de réponse : AG⃗(1 ; 1 ; 1), BD⃗(−1 ; 1 ; 0) et BE⃗(−1 ; 0 ; 1).
AG⃗ · BD⃗ = −1 + 1 + 0 = 0 et AG⃗ · BE⃗ = −1 + 0 + 1 = 0.
BD⃗ et BE⃗ ne sont pas colinéaires : les droites (BD) et (BE) sont sécantes en B et contenues dans le plan (BDE).
(AG) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BDE), donc (AG) est orthogonale au plan (BDE).On applique le théorème : il suffit de l’orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan.
- Tu as calculé les coordonnées des vecteurs.
- Tu as calculé deux produits scalaires nuls.
- Tu as vérifié que les deux vecteurs du plan ne sont pas colinéaires.
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
Exercices corrigés : 0 / 9
- Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 9
CalculCalcule la norme du vecteur u⃗(2 ; −1 ; 2).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 9
QCMLequel de ces vecteurs est orthogonal à u⃗(1 ; 1 ; 1) ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 9
CalculPour quelle valeur de m les vecteurs u⃗(2 ; m ; 1) et v⃗(1 ; 3 ; −5) sont-ils orthogonaux ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 9
CalculCalcule la distance AB avec A(1 ; 0 ; 2) et B(3 ; −2 ; 3).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 9
Vrai ou fauxUne droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à ce plan.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 9
CalculDétermine, en degrés, l’angle géométrique entre u⃗(1 ; 0 ; 1) et v⃗(0 ; 1 ; 1).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 9
CalculSoit A(2 ; −1 ; 5). Quelle est la distance du point A au plan (Oxy), d’équation z = 0 ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 9 sur 9
Question ouverteDans le repère orthonormé (A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗) d’un cube ABCDEFGH d’arête 1, on a B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1). Montre que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
Aide d’ULU pour cet exercice
À découvrir aussi
Terminale · Mathématiques
La fonction logarithme népérien
Définition de ln, propriétés algébriques, dérivée, limites, croissances comparées et résolution d’équations. Cours et exercices de Terminale spécialité.
Terminale · Mathématiques
Le raisonnement par récurrence
Initialisation, hérédité, conclusion : apprends à démontrer une propriété pour tout entier n par récurrence. Cours et exercices de Terminale spécialité.
Terminale · Mathématiques
Limites de suites
Suites convergentes et divergentes, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et des gendarmes, suites monotones. Cours et exercices de Terminale.