Nombres et calculs

Exercice 1

Réponse : Faux

C’est faux. 21 a d’autres diviseurs que 1 et 21 : il est divisible par 3 et par 7.

1. On teste les petits nombres premiers : 21 n’est pas pair, donc pas divisible par 2.
2. 2 + 1 = 3 : la somme des chiffres est dans la table de 3, donc 21 est divisible par 3.
3. 21 = 3 × 7 : ses diviseurs sont 1, 3, 7 et 21. Il en a quatre, il n’est donc pas premier.

Exercice 2

Réponse : 30 · 15 · 5 · 3

On divise toujours par le plus petit nombre premier possible, jusqu’à obtenir un quotient premier. On regroupe ensuite les facteurs identiques avec des puissances.

1. 60 ÷ 2 = 30
2. 30 ÷ 2 = 15
3. 15 n’est pas pair ; 15 ÷ 3 = 5, et 5 est premier.
4. 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

Exercice 3

Réponse : 3/4

Les facteurs communs à 18 et 24 sont 2 et 3, soit 2 × 3 = 6. On divise le numérateur et le dénominateur par 6.

1. 18 = 2 × 3 × 3 et 24 = 2 × 2 × 2 × 3
2. Facteurs communs : 2 × 3 = 6
3. 1824 = 18 ÷ 624 ÷ 6 = 34
4. 3 et 4 n’ont plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.

Exercice 4

Réponse : 0,001

10⁻³ est l’inverse de 10³ : c’est un nombre positif, plus petit que 1.

1. 10³ = 1 000
2. 10⁻³ = 11 000 = 0,001
3. Repère : l’exposant −3 correspond à 3 chiffres après la virgule, le dernier étant 1.

Exercice 5

Réponse : 4

Pour passer de 5,2 à 52 000, on déplace la virgule de 4 rangs vers la droite, c’est-à-dire qu’on multiplie par 10 000 = 10⁴.

1. 5,2 × 10 = 52 ; 5,2 × 100 = 520 ; 5,2 × 1 000 = 5 200 ; 5,2 × 10 000 = 52 000
2. 10 000 = 10⁴
3. Donc 52 000 = 5,2 × 10⁴ et n = 4.

Exercice 6

Réponse : 4

On calcule chaque racine carrée séparément en utilisant les carrés parfaits, puis on fait la soustraction.

1. 9² = 81, donc √81 = 9
2. 5² = 25, donc √25 = 5
3. √81 − √25 = 9 − 5 = 4
4. Attention : ce n’est pas √(81 − 25) = √56.

Exercice 7

Réponse : 8x − 12

On multiplie le facteur 4 par chaque terme de la parenthèse, sans oublier le second.

1. 4 × 2x = 8x
2. 4 × (−3) = −12
3. 4(2x − 3) = 8x − 12
4. Erreur fréquente : écrire 8x − 3 en oubliant de multiplier le 3.

Exercice 8

Réponse : x² + 10x + 25

On applique l’identité remarquable avec a = x et b = 5. Le terme du milieu 2ab est souvent oublié : (x + 5)² n’est pas x² + 25.

1. a² = x²
2. 2ab = 2 × x × 5 = 10x
3. b² = 5² = 25
4. (x + 5)² = x² + 10x + 25
5. Vérification avec x = 1 : (1 + 5)² = 36 et 1 + 10 + 25 = 36 ✓

Exercice 9

Réponse : 5

On enlève 2x des deux côtés, puis on ajoute 7 des deux côtés, et enfin on divise par 3.

1. 5x − 2x − 7 = 8, soit 3x − 7 = 8
2. 3x = 8 + 7 = 15
3. x = 15 ÷ 3 = 5
4. Vérification : 5 × 5 − 7 = 18 et 2 × 5 + 8 = 18 ✓

Exercice 10

Réponse : x = 4 ou x = −5

On écrit que chaque facteur peut être nul et on résout les deux petites équations.

1. Premier facteur : x − 4 = 0, donc x = 4
2. Second facteur : 2x + 10 = 0, donc 2x = −10 et x = −5
3. Solutions : 4 et −5
4. Il ne faut pas oublier de diviser par 2 : −10 n’est pas une solution.