Tu as déjà rencontré la racine carrée avec le théorème de Pythagore. C’est l’opération qui « défait » le carré : elle permet par exemple de retrouver le côté d’un carré dont on connaît l’aire.
Objectifs
- Connaître la définition de la racine carrée d’un nombre positif
- Connaître les carrés parfaits de 1 à 144
- Encadrer une racine carrée entre deux entiers consécutifs
- Donner une valeur approchée avec la calculatrice
1. Définition
Racine carrée : Pour un nombre a positif ou nul, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré est égal à a.
(√a)² = a et, si a ≥ 0, √(a²) = a
Exemples
- √49 = 7 car 7² = 49 et 7 est positif.
- √0,25 = 0,5 car 0,5² = 0,25.
- √0 = 0.
2. Les carrés parfaits
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est un nombre entier. Il faut connaître ceux de 1 à 144 :
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
3. Encadrer et approcher une racine carrée
Encadrer √50 entre deux entiers consécutifs
- On cherche les carrés parfaits qui entourent 50 : 49 < 50 < 64.
- Donc √49 < √50 < √64.
7 < √50 < 8
Quand a est un nombre entier qui n’est pas un carré parfait, √a n’est pas un nombre décimal : la calculatrice n’en donne qu’une valeur approchée. Par exemple √20 ≈ 4,47 (au centième).
4. Les pièges de calcul
5. Une application : le côté d’un carré
Un carré a une aire de 30 cm². Quelle est la longueur de son côté ?
- Si c est le côté, alors c² = 30.
- c est une longueur, donc positive : c = √30.
- À la calculatrice : √30 ≈ 5,477.
Le côté mesure environ 5,5 cm (au dixième).
À retenir
- √a n’existe que pour a ≥ 0 et c’est toujours un nombre positif.
- (√a)² = a.
- Carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
- √(a + b) ≠ √a + √b en général.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.