L’arithmétique étudie les nombres entiers et leurs diviseurs. En 3e, tu apprends à décomposer un nombre en produit de nombres premiers, puis à utiliser cette décomposition pour simplifier des fractions et résoudre des problèmes de partage.
Objectifs
- Utiliser le vocabulaire diviseur, multiple, divisible
- Reconnaître un nombre premier
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- Rendre une fraction irréductible
- Résoudre un problème de partage avec les diviseurs communs
1. Diviseurs et multiples
Diviseur, multiple : a et b sont des entiers (b ≠ 0). Si la division de a par b tombe juste (reste nul), on dit que b est un diviseur de a, que a est un multiple de b et que a est divisible par b.
Exemple
36 = 4 × 9 : 4 et 9 sont des diviseurs de 36 ; 36 est un multiple de 4 et de 9.
| Divisible par | Critère |
|---|---|
| 2 | le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | la somme des chiffres est divisible par 3 |
| 5 | le chiffre des unités est 0 ou 5 |
| 9 | la somme des chiffres est divisible par 9 |
| 10 | le chiffre des unités est 0 |
2. Les nombres premiers
Nombre premier : Un nombre entier est premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Les nombres premiers inférieurs à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.
3. Décomposer en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l’ordre des facteurs près).
Décomposer 360
- On divise par le plus petit nombre premier possible, et on recommence.
- 360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45
- 45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5
- Donc 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
360 = 2³ × 3² × 5
4. Rendre une fraction irréductible
Fraction irréductible : Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.
Rendre irréductible
- 84 = 2² × 3 × 7 et 360 = 2³ × 3² × 5
- Facteurs communs : 2² × 3 = 12
- 84 ÷ 12 = 7 et 360 ÷ 12 = 30
= , et 7 et 30 n’ont aucun facteur premier commun.
5. Problèmes de partage
Un fleuriste a 84 roses et 126 tulipes. Il veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
- Le nombre de bouquets doit diviser 84 et 126 : c’est un diviseur commun.
- 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7
- Le plus grand diviseur commun est 2 × 3 × 7 = 42.
- 84 ÷ 42 = 2 et 126 ÷ 42 = 3
Il peut faire 42 bouquets, chacun composé de 2 roses et 3 tulipes.
À retenir
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n’est pas premier.
- Tout entier ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
- Pour rendre une fraction irréductible, on divise par tous les facteurs premiers communs.
- Le plus grand diviseur commun s’obtient en prenant les facteurs premiers communs.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.