Exercices : calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables

Exercice 1

Réponse : 6x − 12

On multiplie chaque terme de la parenthèse par 3 : 3 × 2x − 3 × 4 = 6x − 12.

Exercice 2

Réponse : x² + 7x + 10

On applique la double distributivité puis on réduit.

1. (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10
2. = x² + 7x + 10

Exercice 3

Réponse : Faux

On oublie le double produit ! Un contre-exemple suffit : pour x = 1, (1 + 3)² = 16 alors que 1² + 9 = 10.

1. (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9

Exercice 4

Réponse : 1 → D · 2 → A · 3 → B · 4 → C

Les trois premières sont des identités remarquables ; la dernière se développe avec la double distributivité : x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2.

Exercice 5

Réponse : (x − 6)(x + 6)

x² − 36 est une différence de deux carrés : x² − 6². On applique a² − b² = (a − b)(a + b).

1. x² − 36 = x² − 6² = (x − 6)(x + 6)

Exercice 6

Réponse : 3x − 1

Le facteur commun est (x + 1). On regroupe ce qui reste.

1. (2x + 3) + (x − 4) = 2x + x + 3 − 4 = 3x − 1

Exercice 7

Réponse : 15

On remplace x par (−2), avec des parenthèses, en respectant les priorités.

1. 2 × (−2)² − 3 × (−2) + 1
2. = 2 × 4 + 6 + 1
3. = 15

Exercice 8

Réponse : 10 201

(100 + 1)² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.

Exercice 9

Exemple de réponse : Si on choisit x, on obtient successivement : x + 3, puis (x + 3)², puis (x + 3)² − x².
Or (x + 3)² = x² + 6x + 9, donc (x + 3)² − x² = x² + 6x + 9 − x² = 6x + 9.
Le résultat est bien 6x + 9 pour tout nombre x.

Pour démontrer un résultat valable pour tous les nombres, on utilise une lettre, puis on développe et on réduit.

• Tu as traduit le programme par une expression en x.
• Tu as développé (x + 3)² correctement.
• Tu as réduit et conclu.