Le calcul littéral consiste à calculer avec des lettres. Développer, c’est transformer un produit en somme ; factoriser, c’est l’inverse. Ces outils servent à résoudre des équations et à démontrer des propriétés vraies pour tous les nombres.
Objectifs
- Développer avec la simple et la double distributivité
- Connaître et utiliser les identités remarquables
- Factoriser avec un facteur commun ou avec a² − b²
- Démontrer une propriété à l’aide du calcul littéral
1. Développer
k(a + b) = ka + kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Développer et réduire (x + 3)(2x − 5)
- (x + 3)(2x − 5) = x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5)
- = 2x² − 5x + 6x − 15
(x + 3)(2x − 5) = 2x² + x − 15
2. Les identités remarquables
Elles se démontrent avec la double distributivité, mais les connaître fait gagner du temps :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Exemples
- (x + 4)² = x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16
- (2x − 3)² = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² − 12x + 9
- (x − 5)(x + 5) = x² − 25
3. Factoriser
Avec un facteur commun : (x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x − 4)
- Le facteur commun est (x + 1).
- = (x + 1)[(2x + 3) + (x − 4)]
- = (x + 1)(3x − 1)
(x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x − 4) = (x + 1)(3x − 1)
Avec a² − b² = (a − b)(a + b)
- x² − 49 = x² − 7² = (x − 7)(x + 7)
- 9x² − 16 = (3x)² − 4² = (3x − 4)(3x + 4)
4. Démontrer avec le calcul littéral
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3
- On note n le plus petit : les trois entiers sont n, n + 1 et n + 2.
- n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)
- 3(n + 1) est le produit de 3 par un entier.
La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
À retenir
- Développer : produit → somme. Factoriser : somme → produit.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- On factorise en repérant un facteur commun ou une différence de deux carrés.
- Le calcul littéral permet de démontrer une propriété pour tous les nombres.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.