Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. En 3e, tu ajoutes à tes outils les équations produit nul, les équations du type x² = a et les inéquations.
Objectifs
- Résoudre une équation du premier degré
- Résoudre une équation produit nul
- Résoudre une équation de la forme x² = a
- Résoudre une inéquation du premier degré
- Mettre un problème en équation
1. Rappel : équations du premier degré
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Résoudre 3x − 7 = x + 5
- 3x − x = 5 + 7
- 2x = 12
- x = 6
La solution est 6. Vérification : 3 × 6 − 7 = 11 et 6 + 5 = 11.
2. Les équations produit nul
Propriété du produit nul : Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. Autrement dit : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.
Résoudre (2x − 6)(x + 4) = 0
- C’est un produit nul : 2x − 6 = 0 ou x + 4 = 0.
- 2x − 6 = 0 donne 2x = 6, soit x = 3.
- x + 4 = 0 donne x = −4.
L’équation a deux solutions : 3 et −4.
3. Les équations x² = a
| Cas | Solutions de x² = a | Exemple |
|---|---|---|
| a > 0 | deux solutions : √a et −√a | x² = 25 : x = 5 ou x = −5 |
| a = 0 | une solution : 0 | x² = 0 : x = 0 |
| a < 0 | aucune solution | x² = −4 : pas de solution |
4. Les inéquations du premier degré
Une inéquation contient un signe <, >, ≤ ou ≥. Ses solutions forment en général un ensemble infini de nombres, que l’on représente sur une droite graduée.
Résoudre −2x + 1 ≥ 7
- −2x ≥ 7 − 1
- −2x ≥ 6
- On divise par −2 (négatif) : on change le sens.
- x ≤ −3
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à −3.
5. Mettre un problème en équation
Un rectangle a un périmètre de 50 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 7 cm. Quelles sont ses dimensions ?
- Choix de l’inconnue : x est la largeur (en cm) ; la longueur est x + 7.
- Mise en équation : 2 × (x + x + 7) = 50.
- Résolution : 4x + 14 = 50, donc 4x = 36, donc x = 9.
- Vérification : 2 × (9 + 16) = 50.
La largeur mesure 9 cm et la longueur 16 cm.
À retenir
- A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.
- x² = a a deux solutions √a et −√a si a > 0, une seule si a = 0, aucune si a < 0.
- Dans une inéquation, multiplier ou diviser par un négatif change le sens de l’inégalité.
- Problème : choisir l’inconnue, mettre en équation, résoudre, vérifier, conclure.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.