Exercices : équations produit nul et inéquations

Exercice 1

Réponse : 4

On regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre.

1. 5x − 2x = 9 + 3
2. 3x = 12
3. x = 4

Exercice 2

Réponse : 2 et −7

Produit nul : x − 2 = 0 ou x + 7 = 0, donc x = 2 ou x = −7.

Exercice 3

Réponse : 0,5

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.

1. 4x − 2 = 0 donne 4x = 2, soit x = 0,5.
2. x + 3 = 0 donne x = −3.
3. La solution positive est 0,5.

Exercice 4

Réponse : Faux

Un carré est toujours positif ou nul : x² ne peut pas valoir −16. L’équation n’a aucune solution. (4² = 16 et (−4)² = 16, pas −16.)

Exercice 5

Réponse : -7

49 > 0, donc x² = 49 a deux solutions : √49 = 7 et −√49 = −7.

Exercice 6

Réponse : x < −3

On isole x, sans oublier de changer le sens en divisant par un négatif.

1. −3x > 11 − 2
2. −3x > 9
3. On divise par −3 : x < −3

Exercice 7

Réponse : Vrai

On remplace x par −1 : 2 × (−1) + 5 = 3, et 3 ≥ 3 est vrai (le signe ≥ inclut l’égalité).

Exercice 8

Réponse : 9 cm

On note x la largeur ; la longueur vaut x + 7.

1. 2 × (x + x + 7) = 50
2. 4x + 14 = 50
3. 4x = 36
4. x = 9 : la largeur est 9 cm (et la longueur 16 cm).

Exercice 9

Exemple de réponse : On ramène tout dans un membre : x² − 5x = 0.
On factorise par x : x(x − 5) = 0.
C’est une équation produit nul : x = 0 ou x − 5 = 0, c’est-à-dire x = 0 ou x = 5.
L’équation a deux solutions : 0 et 5.

Diviser par x ferait perdre la solution 0. On factorise puis on utilise le produit nul.

• Tu n’as pas divisé par x.
• Tu as factorisé x² − 5x.
• Tu as appliqué la propriété du produit nul et trouvé les deux solutions.