Exercice 1 sur 10
CalculRappel : pour tout réel a, ln(eᵃ) = a.
Calcule ln(e³).
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Analyse : limites, continuité, dérivation et fonctions usuelles
10 exercices progressifs, des bases jusqu’au niveau attendu, avec une correction détaillée.
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Retravailler : Analyse : limites, continuité, dérivation et fonctions usuelles
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Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Exercice 1
Rappel : pour tout réel a, ln(eᵃ) = a.
Calcule ln(e³).Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2 — Complète les trous.
Rappel : pour a > 0 et b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(aⁿ) = n ln(a). Complète avec des nombres entiers.
ln(6) = ln(2) + ln() et ln(8) = × ln(2).
Exercice 3
Rappel : ln(X) = 0 ⟺ X = 1 (pour X > 0).
Résous dans ]2 ; +∞[ l’équation ln(x − 2) = 0.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Rappel : (eu)′ = u′eu.
Quelle est la dérivée de f(x) = e5x ?- f′(x) = e5x
- f′(x) = 5e5x
- f′(x) = 5xe5x − 1
- f′(x) = e5
Exercice 5 — Coche la bonne réponse.
Rappel : si u est dérivable et strictement positive, (ln(u))′ = .
Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) ?- f′(x) =
- f′(x) =
- f′(x) = 2x ln(x² + 1)
- f′(x) =
Exercice 6 — Coche la bonne réponse.
Rappel : sin′ = cos, cos′ = −sin, et (sin(ax + b))′ = a cos(ax + b).
Quelle est la dérivée de g(x) = sin(4x) ?- g′(x) = cos(4x)
- g′(x) = 4cos(4x)
- g′(x) = −4cos(4x)
- g′(x) = 4sin(4x)
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Rappel (croissances comparées) : pour tout entier n ≥ 1, tend vers +∞ quand x tend vers +∞ ; « l’exponentielle l’emporte ».
Quelle est la limite de quand x tend vers +∞ ?- 0
- 1
- +∞
- −∞
Exercice 8
Rappel : f admet une asymptote horizontale d’équation y = ℓ en +∞ si f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞.
Soit f(x) = pour x > 3. Quelle est la valeur de ℓ ?
Aide : factorise par x en haut et en bas.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9
Rappel : f est convexe là où f″ ≥ 0 ; un point d’inflexion se trouve là où f″ s’annule en changeant de signe.
Soit f(x) = x³ − 3x² + 2 sur ℝ. Donne l’abscisse du point d’inflexion de sa courbe.Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 10 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Rappel : si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
Soit f(x) = x³ + x − 1. Vrai ou faux : l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [0 ; 1].VraiFaux
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Retravailler : Analyse : limites, continuité, dérivation et fonctions usuelles
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : 3
ln et exp sont des fonctions réciproques : ln « défait » l’exponentielle.
- ln(e³) = 3
- De même : ln(e) = 1 et ln(1) = ln(e⁰) = 0.
Exercice 2
Réponse : 3 · 3
On décompose le nombre en produit ou en puissance, puis on applique les propriétés algébriques de ln.
- 6 = 2 × 3, donc ln(6) = ln(2) + ln(3).
- 8 = 2³, donc ln(8) = 3 ln(2).
Exercice 3
Réponse : 3
Le seul nombre dont le logarithme vaut 0 est 1.
- ln(x − 2) = 0 ⟺ x − 2 = 1
- x = 3, qui appartient bien à ]2 ; +∞[.
Exercice 4
Réponse : f′(x) = 5e5x
f = eu avec u(x) = 5x, donc u′(x) = 5.
- u(x) = 5x et u′(x) = 5.
- f′(x) = u′(x)eu(x) = 5e5x.
- Piège : la formule (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ne s’applique pas à l’exponentielle.
Exercice 5
Réponse : f′(x) =
f = ln(u) avec u(x) = x² + 1, strictement positif sur ℝ.
- u(x) = x² + 1 et u′(x) = 2x.
- f′(x) = = .
Exercice 6
Réponse : g′(x) = 4cos(4x)
C’est une composée : on dérive sin (on obtient cos) et on multiplie par la dérivée de 4x, c’est-à-dire 4.
- a = 4 et b = 0.
- g′(x) = 4cos(4x).
Exercice 7
Réponse : +∞
On a une forme , levée par le théorème des croissances comparées : l’exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.
- Avec n = 3 : → +∞.
- Exemple : pour x = 20, e²⁰ ≈ 4,9 × 10⁸ alors que 20³ = 8 000.
Exercice 8
Réponse : 2
Forme : on factorise par x, comme pour les suites.
- 2x + 1 = x(2 + ) et x − 3 = x(1 − ), donc f(x) = (2 + ) ÷ (1 − ).
- → 0 et → 0, donc f(x) → = 2.
- La droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale en +∞.
Exercice 9
Réponse : 1
On calcule la dérivée seconde et on étudie son signe.
- f′(x) = 3x² − 6x
- f″(x) = 6x − 6
- f″(x) < 0 si x < 1 et f″(x) > 0 si x > 1 : f″ change de signe en 1.
- f est concave sur ]−∞ ; 1], convexe sur [1 ; +∞[ : le point d’inflexion a pour abscisse 1.
Exercice 10
Réponse : Vrai
On vérifie les trois hypothèses du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
- f est un polynôme : elle est continue sur [0 ; 1].
- f′(x) = 3x² + 1 > 0 : f est strictement croissante.
- f(0) = −1 et f(1) = 1 : 0 est compris entre f(0) et f(1).
- Donc f(x) = 0 a une unique solution dans [0 ; 1] (environ 0,68 par balayage).
Ces exercices reprennent les outils de l’étude de fonctions : logarithme népérien, dérivée d’une composée, fonctions sinus et cosinus, limites et croissances comparées, convexité, théorème des valeurs intermédiaires. Chaque énoncé rappelle la propriété utile. Prends le temps de lire les corrections : elles détaillent la rédaction attendue.
Exercices corrigés : 0 / 10
Exercice 2 sur 10
Texte à trousRappel : pour a > 0 et b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(aⁿ) = n ln(a). Complète avec des nombres entiers.
Exercice 3 sur 10
CalculRappel : ln(X) = 0 ⟺ X = 1 (pour X > 0).
Résous dans ]2 ; +∞[ l’équation ln(x − 2) = 0.Exercice 4 sur 10
QCMRappel : (eu)′ = u′eu.
Quelle est la dérivée de f(x) = e5x ?Exercice 5 sur 10
QCMRappel : si u est dérivable et strictement positive, (ln(u))′ = .
Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) ?Exercice 6 sur 10
QCMRappel : sin′ = cos, cos′ = −sin, et (sin(ax + b))′ = a cos(ax + b).
Quelle est la dérivée de g(x) = sin(4x) ?Exercice 7 sur 10
QCMRappel (croissances comparées) : pour tout entier n ≥ 1, tend vers +∞ quand x tend vers +∞ ; « l’exponentielle l’emporte ».
Quelle est la limite de quand x tend vers +∞ ?Exercice 8 sur 10
CalculRappel : f admet une asymptote horizontale d’équation y = ℓ en +∞ si f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞.
Soit f(x) = pour x > 3. Quelle est la valeur de ℓ ?
Aide : factorise par x en haut et en bas.Exercice 9 sur 10
CalculRappel : f est convexe là où f″ ≥ 0 ; un point d’inflexion se trouve là où f″ s’annule en changeant de signe.
Soit f(x) = x³ − 3x² + 2 sur ℝ. Donne l’abscisse du point d’inflexion de sa courbe.Exercice 10 sur 10
Vrai ou fauxRappel : si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
Soit f(x) = x³ + x − 1. Vrai ou faux : l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [0 ; 1].