Les fonctions sinus et cosinus, définies à partir du cercle trigonométrique, modélisent les phénomènes périodiques : ondes, oscillations, marées… En Terminale, on les étudie comme de vraies fonctions : dérivées, variations, limites.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître la périodicité et la parité de sin et cos
- Dériver des fonctions faisant intervenir sin et cos
- Étudier les variations et tracer les courbes
- Résoudre des équations du type cos(x) = a ou sin(x) = a
1. Rappels et propriétés
Pour tout réel x, le point M associé à x sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)). On a −1 ≤ cos(x) ≤ 1, −1 ≤ sin(x) ≤ 1 et cos²(x) + sin²(x) = 1.
- Périodicité : cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x). Les deux fonctions sont 2π-périodiques.
- Parité : cos(−x) = cos(x), donc cos est paire (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).
- sin(−x) = −sin(x), donc sin est impaire (courbe symétrique par rapport à l’origine).
| x | 0 | π | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos(x) | 1 | 0 | −1 | |||
| sin(x) | 0 | 1 | 0 |
2. Dérivées
sin′(x) = cos(x) et cos′(x) = −sin(x)
- (sin(ax + b))′ = a cos(ax + b)
- (cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b)
- Plus généralement : (sin(u))′ = u′ cos(u) et (cos(u))′ = −u′ sin(u).
3. Variations et courbes
- Sur [0 ; π], sin′ = cos est positive puis négative : sin croît de 0 à 1 sur [0 ; ], puis décroît de 1 à 0 sur [ ; π].
- Sur [0 ; π], cos′ = −sin ≤ 0 : cos décroît de 1 à −1.
- Grâce à la parité et à la périodicité, on obtient les courbes complètes (sinusoïdes) à partir de l’étude sur [0 ; π].
4. Résoudre cos(x) = a et sin(x) = a
- cos(x) = cos(α) ⟺ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ (k ∈ ℤ).
- sin(x) = sin(α) ⟺ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ (k ∈ ℤ).
Résoudre cos(x) = sur ]−π ; π]
- = cos().
- Dans ]−π ; π], les solutions sont x = et x = −.
Deux solutions : − et .
À retenir
- sin et cos sont 2π-périodiques ; cos est paire, sin est impaire.
- sin′ = cos et cos′ = −sin.
- (sin(ax + b))′ = a cos(ax + b).
- lim = 1 en 0.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.