Exercice 1 sur 8
QCMQuelle est la dérivée de f(x) = sin(2x) ?
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Exercices : les fonctions sinus et cosinus
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Les fonctions sinus et cosinus — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8
Garde un cercle trigonométrique sous la main.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la dérivée de f(x) = sin(2x) ?
- cos(2x)
- 2cos(2x)
- −2cos(2x)
- 2sin(x)
Exercice 2 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
La fonction cosinus est impaire.
VraiFaux
Exercice 3
Donne la valeur exacte de cos() (sous forme décimale ou de fraction).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la période de la fonction f(x) = sin(3x) ?
- 3π
- 2π
Exercice 5 — Coche la bonne réponse.
Quelles sont les solutions de cos(x) = dans ]−π ; π] ?
- uniquement
- et −
- et −
- et
Exercice 6
Quelle est la limite de quand x tend vers 0 ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la dérivée de f(x) = cos²(x) ?
- 2cos(x)
- −2sin(x)cos(x)
- 2sin(x)cos(x)
- −sin²(x)
Exercice 8
Étudie les variations de f(x) = x − sin(x) sur [0 ; +∞[ et déduis-en que sin(x) ≤ x pour tout x ≥ 0.
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Les fonctions sinus et cosinus — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : 2cos(2x)
(sin(ax + b))′ = a cos(ax + b) avec a = 2 : f′(x) = 2cos(2x).
Exercice 2
Réponse : Faux
cos(−x) = cos(x) : cosinus est paire. C’est la fonction sinus qui est impaire.
Exercice 3
Réponse : 0,5
Valeur remarquable : cos() = = 0,5.
Exercice 4
Réponse :
f(x + ) = sin(3x + 2π) = sin(3x) : la période est .
Exercice 5
Réponse : et −
cos() = et cos est paire, donc cos(−) = aussi. Ce sont les deux seules solutions dans ]−π ; π].
Exercice 6
Réponse : 1
tend vers sin′(0) = cos(0) = 1 : c’est un taux d’accroissement.
Exercice 7
Réponse : −2sin(x)cos(x)
(u²)′ = 2u′u avec u = cos et u′ = −sin : f′(x) = 2 × (−sin(x)) × cos(x).
Exercice 8
Exemple de réponse : f est dérivable et f′(x) = 1 − cos(x). Comme cos(x) ≤ 1, f′(x) ≥ 0 : f est croissante sur [0 ; +∞[.
Donc, pour tout x ≥ 0, f(x) ≥ f(0) = 0 − sin(0) = 0.
Ainsi x − sin(x) ≥ 0, c’est-à-dire sin(x) ≤ x pour tout x ≥ 0.Pour démontrer une inégalité, on étudie souvent le signe de la différence via les variations d’une fonction.
- Tu as calculé f′(x) = 1 − cos(x).
- Tu as justifié son signe.
- Tu as utilisé f(0) = 0 pour conclure.
Garde un cercle trigonométrique sous la main.
Exercices corrigés : 0 / 8
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Exercice 2 sur 8
Vrai ou fauxLa fonction cosinus est impaire.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 8
CalculDonne la valeur exacte de cos() (sous forme décimale ou de fraction).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 8
QCMQuelle est la période de la fonction f(x) = sin(3x) ?
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QCMQuelles sont les solutions de cos(x) = dans ]−π ; π] ?
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QCMQuelle est la dérivée de f(x) = cos²(x) ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 8
Question ouverteÉtudie les variations de f(x) = x − sin(x) sur [0 ; +∞[ et déduis-en que sin(x) ≤ x pour tout x ≥ 0.
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