En Première, tu as appris à dériver et à étudier des variations. En Terminale, on dérive des fonctions composées, on dérive deux fois, et la dérivée seconde renseigne sur la forme de la courbe : est-elle « tournée vers le haut » (convexe) ou « vers le bas » (concave) ?
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Dériver une composée g(u(x))
- Calculer une dérivée seconde
- Reconnaître une fonction convexe ou concave
- Déterminer un point d’inflexion
- Utiliser la convexité pour démontrer une inégalité
1. Dérivée d’une fonction composée
(g ∘ u)′(x) = u′(x) × g′(u(x))
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| g(ax + b) | a × g′(ax + b) |
| eu | u′ × eu |
| uⁿ (n entier ≥ 1) | n × u′ × un−1 |
| √u (u > 0) | |
| ln(u) (u > 0) |
Dériver f(x) = (2x − 1)⁴
- u(x) = 2x − 1, u′(x) = 2
- f′(x) = 4 × 2 × (2x − 1)³
f′(x) = 8(2x − 1)³
2. Dérivée seconde
Dérivée seconde : Si f′ est elle-même dérivable sur I, sa dérivée est la dérivée seconde de f, notée f″.
f(x) = x³ − 3x² + 1
- f′(x) = 3x² − 6x
- f″(x) = 6x − 6
3. Convexité
Fonction convexe : f est convexe sur I si sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur I (de manière équivalente : au-dessous de ses cordes). f est concave si sa courbe est au-dessous de ses tangentes.
| f convexe sur I | f concave sur I |
|---|---|
| f′ croissante sur I | f′ décroissante sur I |
| f″ ≥ 0 sur I | f″ ≤ 0 sur I |
| Courbe au-dessus de ses tangentes | Courbe au-dessous de ses tangentes |
- x ↦ x² et exp sont convexes sur ℝ.
- ln et √ sont concaves sur leur intervalle de définition (]0 ; +∞[ pour ln, [0 ; +∞[ pour √).
- x ↦ x³ est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[.
4. Point d’inflexion
Point d’inflexion : Point où la courbe traverse sa tangente : la fonction change de convexité en ce point.
f(x) = x³ − 3x² + 1
- f″(x) = 6x − 6, négatif pour x < 1, positif pour x > 1
- f est concave sur ]−∞ ; 1] et convexe sur [1 ; +∞[
Le point A(1 ; −1) est un point d’inflexion.
5. Utiliser la convexité
Montrer que eˣ ≥ x + 1 pour tout réel x
- exp est convexe sur ℝ, donc sa courbe est au-dessus de ses tangentes.
- La tangente en 0 a pour équation y = e⁰(x − 0) + e⁰ = x + 1.
Pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1.
À retenir
- (g ∘ u)′ = u′ × (g′ ∘ u) ; en particulier (eu)′ = u′eu.
- f convexe ⟺ f′ croissante ⟺ f″ ≥ 0 (f deux fois dérivable).
- Convexe : courbe au-dessus de ses tangentes ; concave : au-dessous.
- Point d’inflexion : f″ s’annule en changeant de signe.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.