Exercice 1 sur 9
QCMQuelle est la dérivée de f(x) = e3x + 1 ?
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Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 9
Pour chaque dérivée, identifie d’abord la fonction « intérieure » u.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la dérivée de f(x) = e3x + 1 ?
- e3x + 1
- 3e3x + 1
- (3x + 1)e3x
- 3xe3x + 1
Exercice 2 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la dérivée de f(x) = (2x − 1)⁴ ?
- 4(2x − 1)³
- 8(2x − 1)³
- 2(2x − 1)⁴
- 8x(2x − 1)³
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la dérivée de f(x) = √(x² + 1) sur ℝ ?
- 2x√(x² + 1)
Exercice 4
Soit f(x) = x³ − 3x² + 1. Calcule f″(2).
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5
Soit f(x) = x³ − 6x² + 1. Donne l’abscisse du point d’inflexion de sa courbe.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
La fonction exponentielle est convexe sur ℝ.
VraiFaux
Exercice 7 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Si f″(a) = 0, alors la courbe de f admet un point d’inflexion d’abscisse a.
VraiFaux
Exercice 8 — Coche la bonne réponse.
La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[. Cela signifie que :
- sa courbe est au-dessus de ses tangentes
- sa courbe est au-dessous de ses tangentes
- elle est décroissante
- sa dérivée est négative
Exercice 9
En utilisant la convexité, démontre que pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1.
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Exercice 1
Réponse : 3e3x + 1
(eu)′ = u′eu avec u(x) = 3x + 1, donc u′(x) = 3.
Exercice 2
Réponse : 8(2x − 1)³
(uⁿ)′ = n × u′ × un−1 avec u(x) = 2x − 1 et u′(x) = 2.
- f′(x) = 4 × 2 × (2x − 1)³ = 8(2x − 1)³
Exercice 3
Réponse :
(√u)′ = avec u(x) = x² + 1 > 0 et u′(x) = 2x.
- f′(x) = =
Exercice 4
Réponse : 6
On dérive deux fois puis on remplace x par 2.
- f′(x) = 3x² − 6x
- f″(x) = 6x − 6
- f″(2) = 12 − 6 = 6
Exercice 5
Réponse : 2
On cherche où f″ s’annule en changeant de signe.
- f′(x) = 3x² − 12x
- f″(x) = 6x − 12, qui s’annule en x = 2
- f″ < 0 avant 2 et f″ > 0 après : changement de signe.
Exercice 6
Réponse : Vrai
La dérivée seconde de exp est exp, strictement positive sur ℝ : exp est convexe.
Exercice 7
Réponse : Faux
Il faut que f″ change de signe en a. Contre-exemple : f(x) = x⁴, f″(x) = 12x² s’annule en 0 sans changer de signe.
Exercice 8
Réponse : sa courbe est au-dessous de ses tangentes
Concave signifie courbe au-dessous de ses tangentes. ln est pourtant croissante : sa dérivée est positive mais décroissante (ln″(x) = − < 0).
Exercice 9
Exemple de réponse : La fonction exp est deux fois dérivable et exp″ = exp > 0 sur ℝ : elle est convexe, donc sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.
La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation y = exp′(0)(x − 0) + exp(0) = x + 1.
Donc, pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1.Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes : il suffit de choisir la bonne tangente.
- Tu as justifié la convexité de exp.
- Tu as déterminé l’équation de la tangente en 0.
- Tu as conclu avec la position courbe/tangente.
Pour chaque dérivée, identifie d’abord la fonction « intérieure » u.
Exercices corrigés : 0 / 9
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Exercice 2 sur 9
QCMQuelle est la dérivée de f(x) = (2x − 1)⁴ ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 9
QCMQuelle est la dérivée de f(x) = √(x² + 1) sur ℝ ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 9
CalculSoit f(x) = x³ − 3x² + 1. Calcule f″(2).
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 9
CalculSoit f(x) = x³ − 6x² + 1. Donne l’abscisse du point d’inflexion de sa courbe.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 9
Vrai ou fauxLa fonction exponentielle est convexe sur ℝ.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 9
Vrai ou fauxSi f″(a) = 0, alors la courbe de f admet un point d’inflexion d’abscisse a.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 9
QCMLa fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[. Cela signifie que :
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 9 sur 9
Question ouverteEn utilisant la convexité, démontre que pour tout réel x, eˣ ≥ x + 1.
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