Une fonction continue se trace « sans lever le crayon ». Cette idée intuitive a une conséquence très utile : si une fonction continue passe d’une valeur négative à une valeur positive, elle s’annule forcément entre les deux. C’est le théorème des valeurs intermédiaires, qui permet de prouver l’existence de solutions d’équations qu’on ne sait pas résoudre exactement.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître la notion de continuité et le lien avec la dérivabilité
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
- Démontrer qu’une équation admet une unique solution sur un intervalle
- Encadrer une solution par balayage ou par dichotomie
- Déterminer la limite éventuelle d’une suite u_{n+1} = f(u_{n})
1. Fonctions continues
Continuité : f est continue en a si lim f(x) = f(a) quand x tend vers a. f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
- Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
- Sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues (là où elles sont définies).
- Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La réciproque est fausse : x ↦ |x| est continue en 0 mais pas dérivable en 0.
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a ; b].
Cas strictement monotone : Si de plus f est strictement monotone sur [a ; b], cette solution est unique. Le résultat s’étend aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant f(a) et f(b) par les limites aux bornes.
L’équation x³ + x − 1 = 0 sur [0 ; 1]
- f(x) = x³ + x − 1 est continue (polynôme) et strictement croissante (f′(x) = 3x² + 1 > 0).
- f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 : 0 est compris entre f(0) et f(1).
L’équation admet une unique solution α dans [0 ; 1].
3. Approcher la solution
- Balayage : on calcule f à pas constant (0,1 puis 0,01…) et on repère le changement de signe.
- Dichotomie : on coupe l’intervalle en deux, on garde la moitié où f change de signe, et on recommence. Chaque étape divise l’amplitude par 2.
Encadrer α tel que α³ + α − 1 = 0
- f(0,6) ≈ −0,184 et f(0,7) ≈ 0,043, donc 0,6 < α < 0,7.
- f(0,68) ≈ −0,006 et f(0,69) ≈ 0,018, donc 0,68 < α < 0,69.
α ≈ 0,68 à 10−2 près.
4. Suites définies par u_{n+1} = f(u_{n})
u₀ = 1 et un+1 = √(un + 2), dont on admet qu’elle converge
- f(x) = √(x + 2) est continue sur [−2 ; +∞[ et les termes sont positifs.
- ℓ = √(ℓ + 2) ⟹ ℓ² = ℓ + 2 ⟹ ℓ² − ℓ − 2 = 0 ⟹ ℓ = 2 ou ℓ = −1.
- Or ℓ ≥ 0.
lim un = 2
À retenir
- Dérivable ⟹ continue (réciproque fausse).
- TVI : f continue sur [a ; b] et k entre f(a) et f(b) ⟹ au moins une solution de f(x) = k.
- Continue et strictement monotone ⟹ solution unique.
- Si un+1 = f(un) converge vers ℓ et f continue en ℓ, alors f(ℓ) = ℓ.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.