Exercice 1 sur 8
Vrai ou fauxUne fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
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Exercices : continuité et théorème des valeurs intermédiaires
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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 8
Pour une rédaction de bac, cite toujours les trois hypothèses : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes.
Exercice 1 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
VraiFaux
Exercice 2 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Une fonction continue sur un intervalle I est dérivable sur I.
VraiFaux
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Combien de solutions l’équation x³ + x − 1 = 0 admet-elle dans [0 ; 1] ?
- Aucune
- Exactement une
- Exactement deux
- On ne peut pas savoir
Exercice 4
Donne une valeur approchée à 0,01 près (arrondi au centième) de la solution de x³ + x − 1 = 0 dans [0 ; 1].
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 5 — Coche la bonne réponse.
Où la fonction partie entière n’est-elle pas continue ?
- Nulle part
- En chaque nombre entier
- En 0 uniquement
- En chaque nombre décimal
Exercice 6
Soit u₀ = 1 et un+1 = √(un + 2). On admet que (un) converge et que ses termes sont positifs. Donne sa limite.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Complète les trous.
Complète l’énoncé du théorème des valeurs intermédiaires.
Si f est sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet au moins une dans [a ; b]. Si de plus f est strictement , cette solution est unique.
Exercice 8
Démontre que l’équation eˣ + x = 0 admet une unique solution sur ℝ.
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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — S’entraîner
Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants
Exercice 1
Réponse : Vrai
C’est un théorème du cours : la dérivabilité entraîne la continuité.
Exercice 2
Réponse : Faux
Contre-exemple : la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’y est pas dérivable (la courbe a un « angle »).
Exercice 3
Réponse : Exactement une
f(x) = x³ + x − 1 est continue et strictement croissante (f′(x) = 3x² + 1 > 0), avec f(0) = −1 et f(1) = 1 : par le corollaire du TVI, une unique solution.
Exercice 4
Réponse : 0,68
Par balayage ou à la calculatrice, on encadre la solution.
- f(0,68) ≈ −0,006 < 0 et f(0,69) ≈ 0,018 > 0
- Donc 0,68 < α < 0,69, et α ≈ 0,682 (arrondi : 0,68).
Exercice 5
Réponse : En chaque nombre entier
La partie entière est constante entre deux entiers consécutifs, puis « saute » de 1 en chaque entier : elle est discontinue en chaque entier.
Exercice 6
Réponse : 2
f(x) = √(x + 2) est continue, donc la limite ℓ vérifie ℓ = f(ℓ).
- ℓ = √(ℓ + 2) donne ℓ² − ℓ − 2 = 0
- Solutions : ℓ = 2 ou ℓ = −1
- ℓ ≥ 0, donc ℓ = 2
Exercice 7
Réponse : continue · solution · monotone
Continuité ⟹ existence ; stricte monotonie ⟹ unicité.
Exercice 8
Exemple de réponse : Soit g(x) = eˣ + x. g est dérivable donc continue sur ℝ, et g′(x) = eˣ + 1 > 0 : g est strictement croissante sur ℝ.
En −∞ : eˣ → 0 et x → −∞, donc g(x) → −∞. En +∞ : g(x) → +∞.
0 est compris entre −∞ et +∞. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution sur ℝ.Sur un intervalle infini, on remplace les valeurs aux bornes par les limites.
- Tu as justifié la continuité.
- Tu as justifié la stricte monotonie avec le signe de g′.
- Tu as calculé les limites aux bornes.
- Tu as cité le corollaire du TVI.
Pour une rédaction de bac, cite toujours les trois hypothèses : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes.
Exercices corrigés : 0 / 8
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Exercice 2 sur 8
Vrai ou fauxUne fonction continue sur un intervalle I est dérivable sur I.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 8
QCMCombien de solutions l’équation x³ + x − 1 = 0 admet-elle dans [0 ; 1] ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 8
CalculDonne une valeur approchée à 0,01 près (arrondi au centième) de la solution de x³ + x − 1 = 0 dans [0 ; 1].
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 8
QCMOù la fonction partie entière n’est-elle pas continue ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 6 sur 8
CalculSoit u₀ = 1 et un+1 = √(un + 2). On admet que (un) converge et que ses termes sont positifs. Donne sa limite.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 7 sur 8
Texte à trousComplète l’énoncé du théorème des valeurs intermédiaires.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 8 sur 8
Question ouverteDémontre que l’équation eˣ + x = 0 admet une unique solution sur ℝ.
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