Analyse

Exercice 1

Réponse : 6

On calcule les deux images, puis on divise la différence des images par la différence des abscisses.

1. f(4) = 16 + 1 = 17
2. f(2) = 4 + 1 = 5
3. Taux = (17 − 5)(4 − 2) = 122 = 6

Exercice 2

Réponse : La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2 a pour coefficient directeur 3.

Le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux de variation entre a et a + h quand h tend vers 0. Graphiquement, c’est le coefficient directeur (la pente) de la tangente au point d’abscisse a. Il ne donne pas la valeur de f(2).

Exercice 3

Réponse : 1 → C · 2 → D · 3 → A · 4 → E · 5 → B

Ce sont les dérivées usuelles à connaître par cœur. Pour les puissances : (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹. La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée.

1. (x²)′ = 2x¹ = 2x
2. (x³)′ = 3x²
3. (1x)′ = −1x² (sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[)
4. (√x)′ = 1(2√x) (sur ]0 ; +∞[)
5. (eˣ)′ = eˣ

Exercice 4

Réponse : 8x − 3

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : on dérive terme à terme.

1. (4x²)′ = 4 × 2x = 8x
2. (−3x)′ = −3
3. (7)′ = 0
4. f′(x) = 8x − 3

Exercice 5

Réponse : 5

Le nombre dérivé en 4 s’obtient en évaluant la fonction dérivée f′ en x = 4.

1. f′(x) = 2x − 3
2. f′(4) = 2 × 4 − 3 = 5

Exercice 6

Réponse : y = 4x − 1

Il faut deux nombres : f(1) (le point de contact) et f′(1) (la pente de la tangente).

1. f(1) = 1 + 2 = 3
2. f′(x) = 2x + 2, donc f′(1) = 4
3. y = 4(x − 1) + 3 = 4x − 4 + 3 = 4x − 1
4. Vérification : en x = 1, y = 3 = f(1) ✓

Exercice 7

Réponse : Vrai

C’est le théorème qui relie dérivée et variations : sur un intervalle, si f′ est négative, f est décroissante ; si f′ est positive, f est croissante. Ici f′ est même strictement négative : f est strictement décroissante.

Exercice 8

Réponse : -15

f′ s’annule en 4 ; elle est négative avant 4 et positive après. Donc f décroît puis croît : f atteint son minimum en x = 4. Le minimum est la valeur f(4).

1. 2x − 8 = 0 ⟺ x = 4
2. f′(x) < 0 pour x < 4 et f′(x) > 0 pour x > 4
3. f(4) = 16 − 32 + 1 = −15
4. Le minimum de f vaut −15, atteint en x = 4.

Exercice 9

Réponse : e^{x + 1}

Comme pour les puissances, multiplier deux exponentielles revient à additionner les exposants.

1. e^2x × e^{−x + 1} = e^{2x + (−x + 1)}
2. 2x − x + 1 = x + 1
3. Résultat : e^{x + 1}

Exercice 10

Réponse : 12

Sur le cercle trigonométrique, les points associés à x et à π − x sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées : ils ont le même sinus et des cosinus opposés.

1. sin(5π6) = sin(π − π6) = sin(π6)
2. sin(π6) = 12
3. Donc sin(5π6) = 12 (et cos(5π6) = −√32).