La fonction exponentielle est une fonction égale à sa propre dérivée. Elle transforme les sommes en produits et sert à modéliser les phénomènes à croissance ou décroissance « proportionnelle » : radioactivité, refroidissement, croissance d’une population…
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître la définition et les propriétés algébriques de l’exponentielle
- Simplifier des expressions avec des exponentielles
- Résoudre des équations et inéquations du type e^{a} = e^{b} ou e^{a} < e^{b}
- Dériver x ↦ e^{ax + b} et étudier des fonctions
1. Définition
Fonction exponentielle : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1 (résultat admis). On l’appelle fonction exponentielle et on la note exp.
On note e = exp(1) ; e ≈ 2,718. Pour tout réel x, on note exp(x) = eˣ.
2. Propriétés algébriques
| Pour tous réels a et b, tout entier n | Propriété |
|---|---|
| Produit | ea + b = ea × eb |
| Inverse | e−a = |
| Quotient | ea − b = |
| Puissance | (ea)n = ena |
| Valeurs | e⁰ = 1 et e¹ = e |
Simplifier A =
- (e²)³ = e⁶
- A = = e6 − 4
A = e²
Conséquence : pour tout réel a, la suite (ena) est géométrique de raison ea, car e(n + 1)a = ea × ena.
3. Signe, variations et courbe
- Pour tout réel x, eˣ > 0.
- exp′ = exp > 0, donc exp est strictement croissante sur ℝ.
- La courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e) ; sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1.
Résoudre e2x − 1 = e⁵
- e2x − 1 = e⁵ ⟺ 2x − 1 = 5
- ⟺ x = 3
S = {3}
4. Dérivée de x ↦ e^{ax + b} et modélisation
(eax + b)′ = a eax + b
- Si k > 0, t ↦ ekt est croissante (modèle de croissance) ;
- si k > 0, t ↦ e−kt est décroissante (modèle de décroissance, par exemple la décharge d’un condensateur ou la désintégration radioactive).
Étudier f(x) = x eˣ
- f′(x) = 1 × eˣ + x eˣ = (1 + x)eˣ
- eˣ > 0, donc f′(x) est du signe de 1 + x
- f est décroissante sur ]−∞ ; −1] et croissante sur [−1 ; +∞[
f admet un minimum en −1, égal à f(−1) = −e−1 ≈ −0,37.
À retenir
- exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp′ = exp et exp(0) = 1.
- ea + b = ea × eb ; e−a = ; (ea)n = ena.
- eˣ > 0 pour tout x ; exp est strictement croissante.
- (eax + b)′ = a eax + b.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.