Exercices : la fonction exponentielle

Exercice 1

Réponse : e⁸

e^a × e^b = e^{a + b} : les exposants s’additionnent.

1. e³ × e⁵ = e^{3 + 5} = e⁸

Exercice 2

Réponse : e²

On utilise (e^a)ⁿ = e^na puis eᵃeᵇ = e^{a − b}.

1. (e²)³ = e⁶
2. e⁶e⁴ = e²

Exercice 3

Réponse : 3

e^a = e^b ⟺ a = b.

1. 2x − 1 = 5
2. 2x = 6, donc x = 3

Exercice 4

Réponse : ]−∞ ; 2[

exp étant strictement croissante, e^a < e^b ⟺ a < b.

1. x < −x + 4
2. 2x < 4, donc x < 2

Exercice 5

Réponse : Faux

Pour tout réel x, eˣ > 0. La courbe de l’exponentielle est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.

Exercice 6

Réponse : −3e^{−3x + 2}

On applique (e^{ax + b})′ = a e^{ax + b} avec a = −3.

Exercice 7

Réponse : -1

On dérive avec la formule du produit, puis on étudie le signe.

1. f′(x) = eˣ + x eˣ = (1 + x)eˣ
2. eˣ > 0 : f′(x) a le signe de 1 + x, négatif puis positif
3. Minimum en x = −1

Exercice 8

Réponse : 36,8 g

On remplace t par 10 et on utilise la calculatrice.

1. m(10) = 100 e⁻¹
2. e⁻¹ ≈ 0,367 9
3. m(10) ≈ 36,8 g

Exercice 9

Réponse : 7,39

À la calculatrice, e² ≈ 7,389 1, soit 7,39 au centième.

Exercice 10

Exemple de réponse : uₙ₊₁ = e^{0,5(n + 1)} = e^{0,5n + 0,5} = e^0,5 × e^0,5n = e^0,5 × uₙ.
(uₙ) est donc géométrique de raison q = e^0,5 et de premier terme u₀ = e⁰ = 1.
Comme u₀ > 0 et q = e^0,5 > e⁰ = 1 (exp est strictement croissante), la suite est croissante.

Pour tout réel a, la suite (e^na) est géométrique de raison e^a.

• Utilisation de e^{a + b} = e^a × e^b.
• Raison e^0,5 et u₀ = 1.
• Comparaison de la raison à 1 justifiée.