Les fonctions cosinus et sinus associent à tout réel x les nombres cos x et sin x. Leurs courbes, appelées sinusoïdes, se répètent indéfiniment : ce sont les fonctions de référence des phénomènes périodiques (ondes, marées, courant alternatif).
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître la périodicité et la parité des fonctions cosinus et sinus
- Connaître leurs variations et l’allure de leurs courbes
- Résoudre des équations du type cos x = a ou sin x = a sur un intervalle
- Étudier la parité ou la périodicité d’une fonction trigonométrique simple
1. Définitions et périodicité
Fonctions cosinus et sinus : La fonction cosinus est la fonction x ↦ cos x et la fonction sinus est la fonction x ↦ sin x, toutes deux définies sur ℝ.
Fonction périodique : Une fonction f définie sur ℝ est périodique de période T (T > 0) si, pour tout réel x, f(x + T) = f(x).
Pour tout réel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x : les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques. Il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur 2π, par exemple ]−π ; π], puis de compléter la courbe par translation.
2. Parité
- Une fonction f définie sur ℝ est paire si f(−x) = f(x) pour tout x : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Elle est impaire si f(−x) = −f(x) pour tout x : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine O.
3. Variations et courbes
| Fonction | Sur [0 ; ] | Sur [ ; π] |
|---|---|---|
| cosinus | décroît de 1 à 0 | décroît de 0 à −1 |
| sinus | croît de 0 à 1 | décroît de 1 à 0 |
- La courbe de cosinus passe par (0 ; 1) ; elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- La courbe de sinus passe par O ; elle est symétrique par rapport à l’origine.
- Les deux courbes oscillent entre −1 et 1 et se reproduisent tous les 2π.
4. Résoudre cos x = a ou sin x = a
On repère sur le cercle trigonométrique les points d’abscisse a (pour cos x = a) ou d’ordonnée a (pour sin x = a), puis on lit les réels associés dans l’intervalle demandé.
Résoudre cos x = sur ]−π ; π]
- cos() =
- Le point symétrique par rapport à l’axe des abscisses est associé à −, de même abscisse.
S = {− ; }
À retenir
- cos et sin sont définies sur ℝ et 2π-périodiques.
- cosinus est paire, sinus est impaire.
- Sur [0 ; π], cosinus décroît de 1 à −1 ; sinus croît de 0 à 1 puis décroît jusqu’à 0.
- Pour résoudre cos x = a ou sin x = a, on s’aide du cercle trigonométrique.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.