Exercices : les fonctions cosinus et sinus

Exercice 1

Réponse : Vrai

Pour tout réel x, cos(−x) = cos x : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exercice 2

Réponse : sin x

Ajouter 2π revient à faire un tour complet : on retombe sur le même point du cercle. La fonction sinus est 2π-périodique.

Exercice 3

Réponse : −π3 et π3

cos(π3) = 12 et, la fonction cosinus étant paire, cos(−π3) = 12 aussi. Ce sont les deux seuls points du cercle d’abscisse 12.

Exercice 4

Réponse : 5π4 et 7π4

Les points d’ordonnée −√22 sont dans la moitié inférieure du cercle.

1. sin(5π4) = sin(π + π4) = −sin(π4) = −√22
2. sin(7π4) = sin(2π − π4) = sin(−π4) = −√22

Exercice 5

Réponse : 2

La droite horizontale d’ordonnée 0,3 coupe le cercle trigonométrique en deux points, car −1 < 0,3 < 1. Chaque point correspond à un unique réel de [0 ; 2π[.

Exercice 6

Réponse : Décroissante

Quand x va de 0 à π, le point M(x) parcourt le demi-cercle supérieur de I(1 ; 0) à (−1 ; 0) : son abscisse diminue de 1 à −1.

Exercice 7

Réponse : f(x)

f(x + π) = cos(2(x + π)) = cos(2x + 2π) = cos(2x) = f(x). La fonction f est donc π-périodique.

Exercice 8

Exemple de réponse : ℝ est symétrique par rapport à 0. Pour tout réel x : f(−x) = (−x) × sin(−x) = (−x) × (−sin x) = x sin x = f(x).
f est donc paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Pour étudier la parité, on calcule f(−x) et on le compare à f(x) et à −f(x). Le produit de deux fonctions impaires est pair.

• Calcul de f(−x).
• Utilisation de sin(−x) = −sin x.
• Conclusion : f paire.
• Interprétation graphique.

Exercice 9

Réponse : 1 → B · 2 → A · 3 → C · 4 → D

Toutes ces propriétés se lisent sur le cercle trigonométrique : symétrie par rapport à l’axe des abscisses, tour complet, rayon égal à 1.