Au collège, le cosinus et le sinus étaient définis pour les angles aigus d’un triangle rectangle. Grâce au cercle trigonométrique, on les définit désormais pour tout nombre réel, ce qui permettra d’étudier des phénomènes périodiques.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Utiliser le radian et convertir des mesures d’angles
- Placer sur le cercle trigonométrique le point associé à un réel
- Définir et calculer le cosinus et le sinus d’un réel
- Connaître les valeurs remarquables et les utiliser avec les symétries du cercle
1. Le cercle trigonométrique et le radian
Cercle trigonométrique : Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Radian : Un angle au centre mesure 1 radian s’il intercepte sur le cercle trigonométrique un arc de longueur 1. Le cercle a pour périmètre 2π : un tour complet mesure 2π radians.
π rad = 180°
| Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π | 2π |
2. Enroulement de la droite des réels
On « enroule » la droite des réels autour du cercle trigonométrique, en partant du point I(1 ; 0). À chaque réel x correspond ainsi un unique point M(x) du cercle : on parcourt une longueur |x| dans le sens direct si x > 0, dans le sens indirect si x < 0.
3. Cosinus et sinus d’un réel
Cosinus et sinus : Si M est le point du cercle trigonométrique associé au réel x, alors cos x est l’abscisse de M et sin x est son ordonnée : M(cos x ; sin x).
- Pour tout réel x : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1.
- Pour tout réel x : cos²x + sin²x = 1 (Pythagore dans le cercle de rayon 1).
- Pour tout réel x et tout entier k : cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.
- Si 0 < x < , on retrouve le cosinus et le sinus de l’angle aigu du triangle rectangle.
4. Valeurs remarquables et symétries
| x | 0 | π | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | 0 | −1 | |||
| sin x | 0 | 1 | 0 |
- Symétrie par rapport à l’axe des abscisses : cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x.
- Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x.
- Symétrie par rapport à l’origine : cos(π + x) = −cos x et sin(π + x) = −sin x.
Calculer cos() et sin()
- = π −
- cos() = −cos() = −
- sin() = sin() =
À retenir
- π rad = 180° ; un tour complet vaut 2π.
- Le point M(x) du cercle trigonométrique a pour coordonnées (cos x ; sin x).
- cos²x + sin²x = 1 ; x et x + 2kπ ont le même cosinus et le même sinus.
- Valeurs remarquables en 0, , , , , à retrouver sur le cercle.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.