La dérivée est l’outil principal pour étudier une fonction : son signe donne le sens de variation. On en déduit le tableau de variations, les extremums et la solution de nombreux problèmes d’optimisation.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Relier le signe de f′ au sens de variation de f
- Dresser le tableau de variations d’une fonction
- Déterminer les extremums locaux d’une fonction
- Résoudre un problème d’optimisation
1. Signe de la dérivée et sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On admet le théorème suivant :
- si f′(x) ≥ 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I ;
- si f′(x) ≤ 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I ;
- si f′(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.
2. Méthode : dresser un tableau de variations
- Calculer f′(x).
- Factoriser f′(x) si possible et étudier son signe (tableau de signes, signe d’un trinôme…).
- En déduire les variations de f (flèches montantes ou descendantes).
- Calculer les images aux bornes et aux points où f′ change de signe.
Étudier f(x) = x³ − 3x + 1 sur ℝ
- f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
- f′(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ et ]1 ; +∞[ ; f′(x) < 0 sur ]−1 ; 1[
- f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[
- f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 et f(1) = 1 − 3 + 1 = −1
f admet un maximum local 3 en −1 et un minimum local −1 en 1.
3. Extremums locaux
Extremum local : f admet un maximum local (resp. minimum local) en a s’il existe un intervalle ouvert J contenant a tel que, pour tout x de J, f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).
4. Problèmes d’optimisation
Rectangle de périmètre 20 cm d’aire maximale
- On note x la largeur (0 < x < 10) ; la longueur vaut 10 − x.
- Aire : A(x) = x(10 − x) = −x² + 10x, donc A′(x) = −2x + 10.
- A′(x) > 0 si x < 5 et A′(x) < 0 si x > 5 : A est maximale en x = 5.
L’aire maximale est A(5) = 25 cm², obtenue pour un carré de côté 5 cm.
À retenir
- Sur un intervalle : f′ ≥ 0 ⟹ f croissante ; f′ ≤ 0 ⟹ f décroissante.
- Pour étudier f, on étudie le signe de f′ (souvent après factorisation).
- Si f′ s’annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local en a.
- f′(a) = 0 ne suffit pas pour avoir un extremum (contre-exemple : x³ en 0).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.