Exercices : dérivée, variations et extremums

Exercice 1

Réponse : croissante · décroissante · constante

Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction sur un intervalle.

Exercice 2

Réponse : -8

On étudie le signe de f′ pour trouver où le minimum est atteint.

1. f′(x) = 2x − 6, qui s’annule en 3
2. f′ < 0 avant 3 et f′ > 0 après : minimum en x = 3
3. f(3) = 9 − 18 + 1 = −8

Exercice 3

Réponse : 3

On factorise la dérivée et on repère où elle passe du positif au négatif.

1. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
2. f′ est positive puis négative autour de −1 : maximum local en −1
3. f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3

Exercice 4

Réponse : Faux

Contre-exemple : f(x) = x³. On a f′(0) = 0, mais f′(x) = 3x² ≥ 0 ne change pas de signe : f est croissante et n’a pas d’extremum en 0.

Exercice 5

Réponse : [−1 ; 2]

On factorise f′ et on étudie son signe (trinôme de coefficient a = 6 > 0).

1. f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x − 2)(x + 1)
2. f′ est négative entre ses racines −1 et 2
3. f est décroissante sur [−1 ; 2]

Exercice 6

Réponse : 25 cm²

On exprime l’aire en fonction de la largeur x, puis on étudie ses variations.

1. A(x) = x(10 − x) pour 0 < x < 10
2. A′(x) = 10 − 2x s’annule en 5 en changeant de signe (+ puis −)
3. A(5) = 5 × 5 = 25 cm²

Exercice 7

Réponse : 4

On calcule f′, on la met au même dénominateur et on étudie son signe.

1. f′(x) = 1 − 4x² = (x² − 4)x² = (x − 2)(x + 2)x²
2. Sur ]0 ; +∞[, f′ est du signe de x − 2 : négative puis positive
3. Minimum en x = 2 : f(2) = 2 + 2 = 4

Exercice 8

Exemple de réponse : f′(x) = x² − 2x − 3. Δ = 4 + 12 = 16, racines −1 et 3, donc f′(x) = (x + 1)(x − 3).
f′ est positive sur ]−∞ ; −1[, négative sur ]−1 ; 3[, positive sur ]3 ; +∞[.
f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 3], croissante sur [3 ; +∞[.
f(−1) = −13 − 1 + 3 + 2 = 113 (maximum local) ; f(3) = 9 − 9 − 9 + 2 = −7 (minimum local).

Méthode complète : dérivée, signe de la dérivée (ici un trinôme), variations, puis calcul des images aux points où f′ change de signe.

• Dérivée correcte.
• Racines −1 et 3 et signe de f′.
• Sens de variation sur chaque intervalle.
• Valeurs 113 et −7.