Si f est dérivable en tout point d’un intervalle I, on peut définir la fonction dérivée f′ qui, à chaque x de I, associe le nombre dérivé f′(x). Plutôt que de calculer des limites, on utilise un formulaire et des règles de calcul.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître les dérivées des fonctions usuelles
- Dériver une somme, un produit, un inverse et un quotient
- Dériver une fonction de la forme x ↦ g(ax + b)
- Calculer un nombre dérivé à partir de la fonction dérivée
1. Dérivées des fonctions usuelles
| Fonction f(x) | Dérivée f′(x) | Dérivable sur |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| mx + p | m | ℝ |
| x² | 2x | ℝ |
| x³ | 3x² | ℝ |
| xⁿ (n entier, n ≥ 1) | nxⁿ⁻¹ | ℝ |
| − | ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ | |
| √x | ]0 ; +∞[ |
2. Opérations sur les fonctions dérivables
u et v sont deux fonctions dérivables sur I, k est un réel.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| u + v | u′ + v′ | |
| ku | ku′ | |
| uv | u′v + uv′ | |
| − | v ne s’annule pas sur I | |
| v ne s’annule pas sur I |
Dériver f(x) = (2x + 1)(x − 3)
- u(x) = 2x + 1, u′(x) = 2 ; v(x) = x − 3, v′(x) = 1
- f′(x) = 2(x − 3) + (2x + 1) × 1
- f′(x) = 2x − 6 + 2x + 1
f′(x) = 4x − 5
Dériver f(x) = sur ]2 ; +∞[
- u(x) = x + 1, u′(x) = 1 ; v(x) = x − 2, v′(x) = 1
- f′(x) =
f′(x) =
3. Dérivée de x ↦ g(ax + b)
Si f(x) = g(ax + b), alors f′(x) = a × g′(ax + b)
Dériver f(x) = (3x − 1)²
- g(X) = X², g′(X) = 2X, avec X = 3x − 1 (a = 3)
- f′(x) = 3 × 2(3x − 1)
f′(x) = 6(3x − 1) = 18x − 6
Dériver f(x) = √(2x + 4) sur ]−2 ; +∞[
- g(X) = √X, g′(X) = , a = 2
f′(x) = 2 × =
À retenir
- (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ; ()′ = − ; (√x)′ = sur ]0 ; +∞[.
- (uv)′ = u′v + uv′ : la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.
- ()′ = .
- (g(ax + b))′ = a × g′(ax + b).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.