Exercices : fonctions dérivées et calcul de dérivées

Exercice 1

Réponse : 3x² − 8x + 2

On dérive terme à terme : (x³)′ = 3x², (−4x²)′ = −8x, (2x)′ = 2, (−1)′ = 0.

Exercice 2

Réponse : 1

On calcule d’abord la fonction dérivée, puis on remplace x par 1.

1. f′(x) = 4x³ − 3
2. f′(1) = 4 − 3 = 1

Exercice 3

Réponse : 4x − 5

On applique (uv)′ = u′v + uv′ avec u(x) = 2x + 1 et v(x) = x − 3.

1. f′(x) = 2(x − 3) + (2x + 1) × 1
2. f′(x) = 2x − 6 + 2x + 1 = 4x − 5

Exercice 4

Réponse : -0,25

La dérivée de 1x est −1x².

1. f′(2) = −12² = −14 = −0,25

Exercice 5

Réponse : 0,25

La dérivée de √x est 1(2√x) sur ]0 ; +∞[.

1. f′(4) = 1(2√4) = 1(2 × 2) = 14 = 0,25

Exercice 6

Réponse : Faux

Le taux de variation entre 0 et h > 0 vaut √hh = 1√h, qui devient aussi grand que l’on veut quand h tend vers 0 : il n’a pas de limite finie.

Exercice 7

Réponse : −3(x − 2)²

On applique (uv)′ = (u′v − uv′)v² avec u(x) = x + 1 et v(x) = x − 2.

1. u′v − uv′ = 1 × (x − 2) − (x + 1) × 1 = −3
2. f′(x) = −3(x − 2)²

Exercice 8

Réponse : 12

f(x) = g(3x − 1) avec g(X) = X², donc f′(x) = 3 × 2(3x − 1).

1. f′(x) = 6(3x − 1)
2. f′(1) = 6 × 2 = 12

Exercice 9

Réponse : 1 → E · 2 → A · 3 → B · 4 → D · 5 → C

Ce sont les dérivées usuelles du formulaire, à connaître par cœur.

Exercice 10

Exemple de réponse : u(x) = x, u′(x) = 1 ; v(x) = x² + 1, v′(x) = 2x ; v ne s’annule pas sur ℝ.
f′(x) = (1 × (x² + 1) − x × 2x)(x² + 1)² = (1 − x²)(x² + 1)².
Forme factorisée : f′(x) = (1 − x)(1 + x)(x² + 1)².

Garder le dénominateur v² sous forme de carré : il est positif, ce qui facilite l’étude du signe de f′.

• Identification de u, v, u′, v′.
• Formule du quotient correctement appliquée.
• Numérateur simplifié en 1 − x².
• Factorisation (1 − x)(1 + x).