La division sert à partager (valeur d’une part) ou à regrouper (nombre de parts). Selon le problème, on garde un reste (division euclidienne) ou on continue après la virgule (division décimale).
Objectifs
- Reconnaître une situation de division (partage ou groupement)
- Effectuer une division euclidienne et écrire l’égalité correspondante
- Utiliser les notions de multiple et de diviseur, et les critères de divisibilité
- Diviser un nombre décimal par un entier inférieur à 10
1. Les deux sens de la division
- Partage : 84 bonbons partagés équitablement entre 4 enfants. Combien chacun en reçoit-il ? 84 ÷ 4 = 21.
- Groupement : 84 œufs rangés par boîtes de 6. Combien de boîtes ? 84 ÷ 6 = 14.
2. La division euclidienne
Division euclidienne : Diviser un entier a (le dividende) par un entier b non nul (le diviseur), c’est trouver deux entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que a = b × q + r avec r < b.
Division euclidienne de 347 par 12
- Dans 34 dizaines, combien de fois 12 ? 2 fois (24) ; il reste 10 dizaines.
- On abaisse le 7 : 107. Dans 107, combien de fois 12 ? 8 fois (96) ; il reste 11.
- Quotient : 28 ; reste : 11 (et 11 < 12).
347 = 12 × 28 + 11
3. Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Si le reste de la division de a par b est 0, on dit que a est un multiple de b, et que b est un diviseur de a (ou que a est divisible par b). Exemple : 36 = 4 × 9, donc 36 est un multiple de 4 et de 9.
| Un entier est divisible par… | si… |
|---|---|
| 2 | son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 5 | son chiffre des unités est 0 ou 5 |
| 10 | son chiffre des unités est 0 |
| 3 | la somme de ses chiffres est divisible par 3 |
| 9 | la somme de ses chiffres est divisible par 9 |
4. La division décimale
Quand le reste n’a pas de sens dans le problème (partager une somme d’argent, une longueur…), on continue la division après la virgule.
Calculer 15,6 ÷ 4
- 15 ÷ 4 : 3 fois, il reste 3 unités.
- On place la virgule au quotient en abaissant le 6 : 36 dixièmes.
- 36 ÷ 4 = 9 dixièmes, il reste 0.
15,6 ÷ 4 = 3,9
Calculer 7 ÷ 4
- 7 = 7,00
- 7 ÷ 4 = 1, reste 3 ; 30 dixièmes ÷ 4 = 7, reste 2 ; 20 centièmes ÷ 4 = 5, reste 0.
7 ÷ 4 = 1,75
À retenir
- Division euclidienne : a = b × q + r avec r < b.
- Reste nul ⟺ a est un multiple de b ⟺ b est un diviseur de a.
- Critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9, 10.
- Division décimale : on place la virgule au quotient quand on abaisse le premier chiffre après la virgule.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.