Multiplier 3 × 4, c’est ajouter 4 fois le nombre 3. Mais que signifie 2,5 × 1,3 ? On ne peut pas « ajouter 1,3 fois » ! Pour comprendre, on s’appuie sur l’aire d’un rectangle et sur les propriétés de la multiplication.
Objectifs
- Comprendre le sens du produit de deux nombres décimaux
- Calculer un produit en se ramenant à un produit d’entiers
- Placer correctement la virgule dans le résultat
- Contrôler un résultat à l’aide d’un ordre de grandeur
1. Le sens du produit : l’aire d’un rectangle
L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ est L × ℓ. Un rectangle de 0,3 m sur 0,2 m a donc une aire de 0,3 × 0,2 m².
Calculer 0,3 × 0,2 avec un carré de 1 m de côté
- On partage le carré de 1 m² en 10 × 10 = 100 petits carrés : chacun vaut 0,01 m².
- Le rectangle de 0,3 m sur 0,2 m contient 3 × 2 = 6 petits carrés.
- Son aire est 6 × 0,01 = 0,06 m².
0,3 × 0,2 = 0,06
2. Se ramener à un produit d’entiers
On peut changer l’ordre et regrouper les facteurs d’une multiplication sans changer le résultat. On décompose donc chaque décimal en « entier × 0,1 » ou « entier × 0,01 ».
Calculer 2,5 × 1,3
- 2,5 = 25 × 0,1 et 1,3 = 13 × 0,1
- 2,5 × 1,3 = 25 × 13 × 0,1 × 0,1
- 25 × 13 = 325 et 0,1 × 0,1 = 0,01
- 325 × 0,01 = 3,25
2,5 × 1,3 = 3,25
3. La technique : placer la virgule
- On effectue la multiplication sans tenir compte des virgules.
- On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
- Le résultat a autant de chiffres après la virgule.
Calculer 4,26 × 3,5
- 426 × 35 = 14 910
- 4,26 a 2 chiffres après la virgule, 3,5 en a 1 : total 3.
- On place la virgule : 14,910
4,26 × 3,5 = 14,91
4. Contrôler avec un ordre de grandeur
On remplace chaque facteur par un nombre proche et simple, puis on calcule mentalement.
Ordre de grandeur de 4,26 × 3,5
- 4,26 ≈ 4 et 3,5 ≈ 4
- 4 × 4 = 16
Le résultat 14,91 est cohérent (proche de 16). Un résultat de 149,1 ou de 1,491 serait faux.
À retenir
- Le produit de deux décimaux peut s’interpréter comme l’aire d’un rectangle.
- 0,1 × 0,1 = 0,01 ; 0,1 × 0,01 = 0,001.
- Nombre de chiffres après la virgule du produit = total de ceux des deux facteurs.
- Toujours vérifier avec un ordre de grandeur.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.