Si 1 kg de pommes coûte 3 €, alors 2 kg coûtent 6 €, 5 kg coûtent 15 €… Le prix est proportionnel à la masse. Beaucoup de situations de la vie courante suivent ce modèle, mais pas toutes !
Objectifs
- Connaître la définition de la proportionnalité entre deux grandeurs
- Reconnaître si une situation relève de la proportionnalité
- Résoudre un problème par linéarité (multiplicative ou additive) ou par retour à l’unité
- Représenter une situation de proportionnalité dans un tableau
- S’initier aux problèmes d’échelle
1. Définition
Grandeurs proportionnelles : Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on obtient les valeurs de l’une en multipliant celles de l’autre toujours par le même nombre.
Des expressions comme « prix au kilo », « vitesse constante » ou « nombre de battements par minute » signalent souvent une proportionnalité : la quantité pour une unité ne change pas.
2. Trois procédures pour résoudre
Linéarité multiplicative — 4 cahiers coûtent 6 €. Combien coûtent 12 cahiers ?
- 12 cahiers, c’est 3 fois plus que 4 cahiers.
- Le prix est donc 3 fois plus grand : 3 × 6 € = 18 €.
12 cahiers coûtent 18 €.
Linéarité additive — Avec les mêmes cahiers, combien coûtent 16 cahiers ?
- 16 cahiers = 12 cahiers + 4 cahiers.
- Prix : 18 € + 6 € = 24 €.
16 cahiers coûtent 24 €.
Retour à l’unité — 5 kg de pommes coûtent 11 €. Combien coûtent 3 kg ?
- Prix d’un kilogramme : 11 € ÷ 5 = 2,20 €.
- Prix de 3 kg : 3 × 2,20 € = 6,60 €.
3 kg coûtent 6,60 €.
3. Le tableau de proportionnalité
| Nombre de cahiers | 4 | 12 | 16 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 6 | 18 | 24 | 1,5 |
On passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant toujours par 1,5 : c’est le prix d’un cahier. On note les noms des grandeurs et leurs unités dans le tableau.
4. Les échelles
Sur un plan ou une carte, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Une échelle 1/100 (ou 1 : 100) signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm, soit 1 m, dans la réalité.
Sur un plan à l’échelle 1/100, une pièce mesure 4,5 cm de long. Quelle est sa longueur réelle ?
- Longueur réelle = 100 × 4,5 cm = 450 cm
- 450 cm = 4,5 m
La pièce mesure 4,5 m de long.
À retenir
- Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
- Linéarité : 3 fois plus de l’une → 3 fois plus de l’autre ; on peut aussi additionner.
- Retour à l’unité : on calcule d’abord la valeur pour 1.
- Échelle 1/100 : 1 cm sur le plan ↔ 100 cm en réalité.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.