Si l’on plie une feuille le long d’une droite, deux figures symétriques se superposent exactement. La symétrie axiale formalise ce pliage et permet de construire des figures précises, même sur papier uni.
Objectifs
- Connaître la définition du symétrique d’un point par rapport à une droite
- Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une figure
- Utiliser les propriétés de conservation de la symétrie axiale
- Reconnaître les axes de symétrie d’une figure
1. Symétrique d’un point
Symétrique d’un point : Le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est le point A’ tel que (d) est la médiatrice du segment [AA’]. Si A est sur (d), son symétrique est lui-même.
Construire A’ à l’équerre et à la règle
- Trace la perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe (d) en H.
- Mesure AH.
- Place A’ sur cette perpendiculaire, de l’autre côté de (d), tel que HA’ = AH.
Construire A’ au compas seulement
- Choisis deux points M et N sur (d).
- Trace l’arc de centre M passant par A, puis l’arc de centre N passant par A.
- Ces arcs se recoupent de l’autre côté de (d) en A’.
MA = MA’ et NA = NA’ : M et N sont sur la médiatrice de [AA’], donc (d) = (MN) est bien cette médiatrice.
2. Propriétés
La symétrie axiale conserve :
- les longueurs : le symétrique d’un segment est un segment de même longueur ;
- les angles : le symétrique d’un angle est un angle de même mesure ;
- l’alignement : le symétrique d’une droite est une droite ;
- les aires et les périmètres des figures.
Le symétrique d’un cercle de centre O et de rayon r est le cercle de centre O’ (symétrique de O) et de même rayon r.
3. Axes de symétrie d’une figure
Axe de symétrie : Droite telle que la figure est sa propre symétrique par rapport à elle : en pliant le long de cette droite, les deux moitiés se superposent.
| Figure | Nombre d’axes de symétrie |
|---|---|
| segment | 2 (sa médiatrice et la droite qui le porte) |
| triangle isocèle (non équilatéral) | 1 |
| triangle équilatéral | 3 |
| rectangle (non carré) | 2 |
| losange (non carré) | 2 (ses diagonales) |
| carré | 4 |
| cercle | une infinité (toute droite passant par le centre) |
À retenir
- A’ symétrique de A par rapport à (d) ⟺ (d) est la médiatrice de [AA’].
- La symétrie axiale conserve longueurs, angles, alignement, aires.
- Pour un polygone, on construit les symétriques des sommets.
- Carré : 4 axes ; rectangle : 2 ; triangle équilatéral : 3 ; cercle : une infinité.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.