Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle. Il permet de calculer une longueur inconnue, et sa réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle.
Objectifs
- Identifier l’hypoténuse d’un triangle rectangle
- Calculer la longueur de l’hypoténuse
- Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit
- Démontrer qu’un triangle est (ou n’est pas) rectangle
1. Vocabulaire
Hypoténuse : Dans un triangle rectangle, c’est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long des trois côtés.
2. L’énoncé du théorème
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
BC² = AB² + AC²
3. Calculer la longueur de l’hypoténuse
ABC est rectangle en A, AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC.
- Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC².
- BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- BC = √25 = 5
BC = 5 cm
4. Calculer un côté de l’angle droit
DEF est rectangle en D, EF = 13 cm et DE = 5 cm. Calculer DF.
- Le triangle DEF est rectangle en D, donc : EF² = DE² + DF².
- 13² = 5² + DF², soit 169 = 25 + DF²
- DF² = 169 − 25 = 144
- DF = √144 = 12
DF = 12 cm
5. La réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle
Si, dans un triangle ABC, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres (BC² = AB² + AC²), alors le triangle est rectangle en A.
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm. Est-il rectangle ?
- Plus grand côté : 10² = 100
- Somme des carrés des deux autres : 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- L’égalité est vérifiée.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle : l’angle droit est l’angle opposé au côté de 10 cm.
Si l’égalité n’est pas vérifiée, le triangle n’est pas rectangle : s’il l’était, le théorème de Pythagore donnerait l’égalité (on utilise la contraposée du théorème).
À retenir
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, le plus long.
- Triangle rectangle en A ⟹ BC² = AB² + AC².
- On calcule toujours les carrés séparément, puis on prend la racine carrée.
- Réciproque : si BC² = AB² + AC², le triangle est rectangle en A.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.