Savoir si un nombre entier « se partage » exactement par un autre est très utile : pour faire des groupes égaux, simplifier des fractions ou calculer mentalement. C’est le rôle des multiples, des diviseurs et des critères de divisibilité.
Objectifs
- Effectuer une division euclidienne et écrire l’égalité correspondante
- Utiliser le vocabulaire multiple, diviseur, divisible
- Connaître les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
- Reconnaître un nombre premier
1. La division euclidienne
Diviser 17 par 5 de façon euclidienne, c’est chercher combien de fois 5 « rentre » dans 17 et ce qu’il reste :
17 = 5 × 3 + 2
2. Multiples et diviseurs
Multiple, diviseur : Si a = b × k avec k entier, on dit que a est un multiple de b, que b est un diviseur de a, et que a est divisible par b. Autrement dit, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Les diviseurs de 18
- 18 = 1 × 18
- 18 = 2 × 9
- 18 = 3 × 6
Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
3. Les critères de divisibilité
| Un nombre entier est divisible par… | si… | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 | 538 |
| 5 | son chiffre des unités est 0 ou 5 | 745 |
| 10 | son chiffre des unités est 0 | 1 290 |
| 3 | la somme de ses chiffres est un multiple de 3 | 471 : 4 + 7 + 1 = 12 |
| 9 | la somme de ses chiffres est un multiple de 9 | 2 457 : 2 + 4 + 5 + 7 = 18 |
4. Pour aller plus loin : les nombres premiers
Nombre premier : Un nombre entier est premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est donc pas premier.
Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
À retenir
- Division euclidienne : a = b × q + r avec r < b.
- a est un multiple de b ⟺ b est un diviseur de a ⟺ le reste de a ÷ b est 0.
- Divisible par 3 (ou 9) : la somme des chiffres est un multiple de 3 (ou 9).
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.