ULUMINE · Mathématiques expertes · Terminale
Nombres premiers et petit théorème de Fermat
Les nombres premiers sont infinis, décomposent tout entier de façon unique, et Fermat donne ap−1 ≡ 1 [p].
Nombres premiers
- Exactement deux diviseurs positifs ; 1 n’est pas premier.
- Test : diviseurs premiers p avec p² ≤ n.
- p | ab ⟹ p | a ou p | b.
Décomposition
- n = p₁α₁ × … × pₖαₖ, unique.
- Nombre de diviseurs : (α₁ + 1)…(αₖ + 1).
- PGCD : facteurs communs, plus petit exposant.
Fermat
- p premier, p ∤ a : ap−1 ≡ 1 [p].
- Pour tout a : aᵖ ≡ a [p].
- Réduire l’exposant modulo p − 1.
Pièges à éviter
- Fermat exige que p soit premier et ne divise pas a.
- La réciproque de Fermat est fausse (341).
- Dans la preuve d’Euclide, p₁ × … × pₙ + 1 n’est pas forcément premier.