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Nombres complexes : forme algébrique et conjugué
Dans ℂ, on calcule comme dans ℝ avec i² = −1 ; tout complexe s’écrit a + ib et possède un conjugué a − ib.
Forme algébrique
- z = a + ib, a = Re(z), b = Im(z) réels, écriture unique.
- z réel ⟺ Im(z) = 0 ; z imaginaire pur ⟺ Re(z) = 0.
- Puissances de i : période 4 (1, i, −1, −i).
Conjugué
- z̄ = a − ib ; z + z̄ = 2Re(z) ; z − z̄ = 2i Im(z).
- z × z̄ = a² + b² (réel positif).
- Conjugué d’une somme, d’un produit, d’un quotient : on conjugue chaque terme.
Méthodes
- Quotient : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur.
- Équation avec z et z̄ : poser z = x + iy et identifier.
Pièges à éviter
- Im(3 − 5i) = −5, pas −5i.
- Le conjugué change le signe de la partie imaginaire seulement (ce n’est pas l’opposé).
- Pas d’inégalités entre complexes non réels.