Un nombre complexe a + ib peut être vu comme un point du plan de coordonnées (a ; b). Sa distance à l’origine et l’angle qu’il fait avec l’axe des réels donnent une autre description, très efficace pour les produits et les puissances : c’est le couple module, argument.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Associer un complexe à un point ou à un vecteur du plan
- Calculer le module d’un complexe et utiliser ses propriétés
- Déterminer un argument d’un complexe non nul
- Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement
1. Image d’un nombre complexe
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u⃗, v⃗). Au complexe z = a + ib on associe le point M(a ; b), appelé image de z, et le vecteur OM⃗. On dit que z est l’affixe de M (et de OM⃗).
- Les réels sont sur l’axe des abscisses (axe réel).
- Les imaginaires purs sont sur l’axe des ordonnées (axe imaginaire).
- Le conjugué z̄ a pour image le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses.
2. Le module
Module : Le module de z = a + ib est le réel positif |z| = √(a² + b²). C’est la distance OM.
- |z|² = z × z̄ ; |z| = 0 ⟺ z = 0 ; |z̄| = |−z| = |z|.
- |zz′| = |z| × |z′| et || = (z′ ≠ 0) ; |zⁿ| = |z|ⁿ.
- Inégalité triangulaire : |z + z′| ≤ |z| + |z′|.
Calculer |(1 + i)(3 + 4i)|
- |1 + i| = √2 et |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5
- |(1 + i)(3 + 4i)| = √2 × 5 = 5√2
Inutile de développer le produit : le module d’un produit est le produit des modules.
3. L’argument
Argument : Pour z ≠ 0 d’image M, on appelle argument de z toute mesure θ de l’angle orienté (u⃗, OM⃗). On note arg(z) = θ [2π] : un argument est défini à un multiple de 2π près.
cos θ = et sin θ =
Un argument de z = −√3 + i
- |z| = √(3 + 1) = 2
- cos θ = − et sin θ =
- θ = convient
arg(z) = [2π].
| z | 1 | i | −1 | −i | 1 + i |
|---|---|---|---|---|---|
| arg(z) | 0 | π | − |
4. Forme trigonométrique et règles de calcul
Forme trigonométrique : Tout complexe non nul s’écrit z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z| > 0 et θ = arg(z).
- arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) [2π].
- arg() = −arg(z) et arg() = arg(z) − arg(z′) [2π].
- arg(zⁿ) = n arg(z) [2π] ; arg(z̄) = −arg(z) ; arg(−z) = arg(z) + π [2π].
À retenir
- |z| = √(a² + b²) est la distance OM ; |z|² = zz̄.
- Un argument est une mesure de (u⃗, OM⃗), défini à 2π près.
- Le module d’un produit est le produit des modules ; l’argument d’un produit est la somme des arguments.
- Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ), r > 0.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.