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Fiche de révision : forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler

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Forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler

e^iθ = cos θ + i sin θ : sous forme exponentielle, on multiplie les modules et on additionne les arguments.

Forme exponentielle

z = re^iθ, r = |z| > 0, θ = arg z.
e^iθe^iθ′ = e^{i(θ + θ′)} ; conjugué de e^iθ : e^−iθ.
(re^iθ)ⁿ = rⁿe^inθ.

Formules

Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).
Euler : cos θ = , sin θ = .
Angle moitié : 1 + e^iθ = 2cos()e^iθ/2.

Méthodes

Grande puissance : passer en forme exponentielle.
Linéariser : Euler, binôme, puis regrouper e^ikθ + e^−ikθ = 2cos(kθ).

Pièges à éviter

Le module doit être strictement positif : −2e^iθ = 2e^{i(θ + π)}.
Dans sin θ = , ne pas oublier le i au dénominateur.
Les arguments sont définis à 2π près : ramener à l’argument principal si on le demande.

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