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Module, argument et forme trigonométrique
Un complexe non nul est repéré par sa distance à O (module) et un angle (argument) : z = r(cos θ + i sin θ).
Module
- |a + ib| = √(a² + b²) = OM ; |z|² = zz̄.
- |zz′| = |z||z′|, || = , |zⁿ| = |z|ⁿ.
- |z + z′| ≤ |z| + |z′|.
Argument
- cos θ = , sin θ = ; défini à 2π près.
- arg(zz′) = arg z + arg z′ ; arg() = arg z − arg z′ ; arg(zⁿ) = n arg z.
- arg(z̄) = −arg z ; arg(−z) = arg z + π.
Forme trigonométrique
- z = r(cos θ + i sin θ), r = |z| > 0.
- Valeurs à connaître : arg(1 + i) = , arg(1 + i√3) = , arg(√3 + i) = .
Pièges à éviter
- Le module est toujours positif : −2(cos θ + i sin θ) n’est pas une forme trigonométrique.
- cos θ seul ne suffit pas pour trouver θ : vérifier le signe de sin θ.
- Le module d’une somme n’est pas la somme des modules.