L’équation x² = −1 n’a pas de solution réelle. Les mathématiciens ont pourtant imaginé un nombre i tel que i² = −1, et cette « invention » s’est révélée extraordinairement féconde : équations, géométrie, électricité, signaux. Ce chapitre pose les règles de calcul dans l’ensemble des nombres complexes ℂ.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Connaître l’ensemble ℂ et la forme algébrique z = a + ib
- Effectuer des sommes, produits et puissances de nombres complexes
- Utiliser le conjugué et ses propriétés
- Écrire un quotient sous forme algébrique
- Résoudre une équation du premier degré dans ℂ
1. L’ensemble ℂ et la forme algébrique
Nombre complexe : Il existe un ensemble ℂ, contenant ℝ, muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de ℝ, et contenant un nombre i tel que i² = −1. Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique z = a + ib avec a et b réels : c’est sa forme algébrique.
- a = Re(z) est la partie réelle de z ; b = Im(z) est sa partie imaginaire (c’est un réel !).
- z est réel si et seulement si Im(z) = 0.
- z est imaginaire pur si et seulement si Re(z) = 0.
- Unicité : a + ib = a′ + ib′ ⟺ a = a′ et b = b′.
2. Calculer dans ℂ
On calcule comme avec des expressions littérales, en remplaçant i² par −1. Les identités remarquables et la formule du binôme de Newton restent valables.
Développer (2 + 3i)(1 − i) et (1 + 2i)²
- (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i
- (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i
Re((2 + 3i)(1 − i)) = 5 et Im((1 + 2i)²) = 4.
| i⁰ | i¹ | i² | i³ | i⁴ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | i | −1 | −i | 1 |
3. Le conjugué
Conjugué : Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib.
- z + z̄ = 2Re(z) et z − z̄ = 2i Im(z).
- z est réel ⟺ z̄ = z ; z est imaginaire pur ⟺ z̄ = −z.
- z × z̄ = a² + b² : c’est un réel positif.
- Le conjugué d’une somme, d’un produit, d’une puissance ou d’un quotient est la somme, le produit, la puissance ou le quotient des conjugués.
4. Inverse et quotient
Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient le réel a² + b².
Forme algébrique de
- On multiplie par 1 + i en haut et en bas.
- Numérateur : (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 1 + 5i
- Dénominateur : (1 − i)(1 + i) = 1² + 1² = 2
= + i.
Résoudre 2z − i = 4 + 3i
- 2z = 4 + 4i
- z = 2 + 2i
L’unique solution est 2 + 2i.
À retenir
- Tout complexe s’écrit de façon unique z = a + ib, avec a = Re(z) et b = Im(z) réels.
- On calcule comme dans ℝ en remplaçant i² par −1.
- Le conjugué de a + ib est a − ib et z × z̄ = a² + b².
- Pour un quotient, on multiplie par le conjugué du dénominateur.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.