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Exercices : forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler

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Forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10

Pense « module × module, argument + argument ».

Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Que vaut e^iπ ?
- 1
- −1
- i
- 0
Exercice 2 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la forme exponentielle de 1 + i ?
- 2e^iπ/4
- √2 e^iπ/4
- √2 e^iπ/2
- e^iπ/4
Exercice 3
Calcule la partie réelle de e^iπ/3 × e^iπ/6.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Pour tout réel θ, le conjugué de e^iθ est e^−iθ.
VraiFaux
Exercice 5
Quel est le module de 3e^2iπ/5 ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque nombre à sa forme algébrique.
1. 1. eⁱ⁰
2. 2. e^iπ/2
3. 3. e^iπ
4. 4. e^−iπ/2
5. 5. e^iπ/4
- A. −i
- B. i
- C. −1
- D. 1
- E. + i
Exercice 7
Calcule la partie imaginaire de (2e^iπ/6)³.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8 — Complète les trous.
Complète avec le nom des formules.
L’égalité (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) est la formule de . Les égalités qui expriment cos θ et sin θ à l’aide de e^iθ et e^−iθ sont les formules d’.
Exercice 9 — Coche la bonne réponse.
Quelle est une forme exponentielle de −2e^iπ/3 ?
- 2e^−iπ/3
- 2e^−2iπ/3
- −2e^−iπ/3
- 2e^2iπ/3
Exercice 10
À l’aide des formules d’Euler, linéarise cos²θ.

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Forme exponentielle, formules de Moivre et d’Euler — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : −1
e^iπ = cos π + i sin π = −1 + 0i = −1.
Exercice 2
Réponse : √2 e^iπ/4
|1 + i| = √2 et un argument est , donc 1 + i = √2 e^iπ/4.
Exercice 3
Réponse : 0
On additionne les arguments.
1. e^iπ/3 × e^iπ/6 = e^{i(π/3 + π/6)} = e^iπ/2
2. e^iπ/2 = i, de partie réelle 0
Exercice 4
Réponse : Vrai
cos θ − i sin θ = cos(−θ) + i sin(−θ) = e^−iθ.
Exercice 5
Réponse : 3
|re^iθ| = r × |e^iθ| = r × 1 = r, ici 3.
Exercice 6
Réponse : 1 → D · 2 → B · 3 → C · 4 → A · 5 → E
On écrit e^iθ = cos θ + i sin θ avec les valeurs remarquables du cercle trigonométrique.
Exercice 7
Réponse : 8
On élève le module au cube et on multiplie l’argument par 3.
1. (2e^iπ/6)³ = 8e^iπ/2
2. = 8i, de partie imaginaire 8
Exercice 8
Réponse : Moivre · Euler
Abraham de Moivre (xviiie siècle) et Leonhard Euler ont donné leur nom à ces formules.
Exercice 9
Réponse : 2e^−2iπ/3
−1 = e^iπ, donc −2e^iπ/3 = 2e^{i(π + π/3)} = 2e^4iπ/3.
1. − 2π = −
2. Donc −2e^iπ/3 = 2e^−2iπ/3
Exercice 10
Exemple de réponse : cos²θ = ()² = .
Or e^2iθ + e^−2iθ = 2cos(2θ).
Donc cos²θ = = .
On remplace cos θ par sa formule d’Euler, on développe, puis on regroupe e^2iθ et e^−2iθ.
- Formule d’Euler correctement appliquée.
- Développement du carré exact.
- Regroupement en 2cos(2θ).

Pense « module × module, argument + argument ».

Exercices corrigés : 0 / 10

Exercice 1 sur 10
QCM
Que vaut e^iπ ?
Choisis une réponse
1−1i0
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 10
QCM
Quelle est la forme exponentielle de 1 + i ?
Choisis une réponse
2e^iπ/4√2 e^iπ/4√2 e^iπ/2e^iπ/4
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 10
Calcul
Calcule la partie réelle de e^iπ/3 × e^iπ/6.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 4 sur 10
Vrai ou faux
Pour tout réel θ, le conjugué de e^iθ est e^−iθ.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 5 sur 10
Calcul
Quel est le module de 3e^2iπ/5 ?
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 6 sur 10
Association
Associe chaque nombre à sa forme algébrique.
- eⁱ⁰
- e^iπ/2
- e^iπ
- e^−iπ/2
- e^iπ/4
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Exercice 7 sur 10
Calcul
Calcule la partie imaginaire de (2e^iπ/6)³.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 8 sur 10
Texte à trous
Complète avec le nom des formules.
L’égalité (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) est la formule de . Les égalités qui expriment cos θ et sin θ à l’aide de e^iθ et e^−iθ sont les formules d’.
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 9 sur 10
QCM
Quelle est une forme exponentielle de −2e^iπ/3 ?
Choisis une réponse
2e^−iπ/32e^−2iπ/3−2e^−iπ/32e^2iπ/3
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 10 sur 10
Question ouverte
À l’aide des formules d’Euler, linéarise cos²θ.
Ta réponse
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