La forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) a une propriété remarquable : multiplier deux complexes revient à additionner leurs arguments, exactement comme exp(a) × exp(b) = exp(a + b). D’où la notation eiθ, qui rend les calculs de produits, de puissances et de trigonométrie beaucoup plus rapides.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Utiliser la notation e^{iθ} et la forme exponentielle re^{iθ}
- Calculer des produits, quotients et puissances sous forme exponentielle
- Appliquer la formule de Moivre
- Utiliser les formules d’Euler pour linéariser ou développer des expressions trigonométriques
1. La notation e^{iθ}
Exponentielle complexe : Pour tout réel θ, on note eiθ = cos θ + i sin θ. C’est le complexe de module 1 et d’argument θ.
- eiθ × eiθ′ = ei(θ + θ′) ; = ei(θ − θ′).
- Le conjugué de eiθ est e−iθ = .
- eiθ = eiθ′ ⟺ θ = θ′ [2π].
- Valeurs à connaître : ei0 = 1, eiπ/2 = i, eiπ = −1, e−iπ/2 = −i.
2. Forme exponentielle
Forme exponentielle : Tout complexe non nul s’écrit z = reiθ avec r = |z| > 0 et θ = arg(z) [2π].
reiθ × r′eiθ′ = rr′ei(θ + θ′) et (reiθ)ⁿ = rⁿeinθ
Calculer (1 + i)¹²
- 1 + i = √2 eiπ/4
- (1 + i)¹² = (√2)¹² ei12π/4 = 64 e3iπ
- e3iπ = eiπ = −1
(1 + i)¹² = −64.
3. Formule de Moivre
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
Exprimer cos(2θ) et sin(2θ)
- (cos θ + i sin θ)² = cos²θ − sin²θ + 2i sin θ cos θ
- Par Moivre, c’est aussi cos(2θ) + i sin(2θ).
- On identifie parties réelles et parties imaginaires.
cos(2θ) = cos²θ − sin²θ et sin(2θ) = 2 sin θ cos θ.
4. Formules d’Euler et linéarisation
cos θ = et sin θ =
Linéariser cos²θ
- cos²θ = ()² =
- e2iθ + e−2iθ = 2cos(2θ)
cos²θ = .
À retenir
- eiθ = cos θ + i sin θ : module 1, argument θ.
- z = reiθ avec r > 0 ; on multiplie les modules et on additionne les arguments.
- Moivre : (eiθ)ⁿ = einθ.
- Euler : cos θ = , sin θ = .
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.