Exercice 1 sur 10
QCMQuelles sont les solutions dans ℂ de z² = −9 ?
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Exercices : équations polynomiales dans ℂ
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Équations polynomiales dans ℂ — S’entraîner
Feuille d’exercices
Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10
Calcule toujours Δ en premier, puis vérifie avec la somme et le produit des racines.
Exercice 1 — Coche la bonne réponse.
Quelles sont les solutions dans ℂ de z² = −9 ?
- 3 et −3
- 3i et −3i
- 9i et −9i
- Aucune
Exercice 2
Calcule le discriminant de z² − 2z + 5.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 3 — Coche la bonne réponse.
Quelles sont les solutions de z² − 2z + 5 = 0 ?
- 1 − 4i et 1 + 4i
- 1 − 2i et 1 + 2i
- −1 − 2i et −1 + 2i
- 2 − i et 2 + i
Exercice 4 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
Si une équation polynomiale à coefficients réels admet 2 + i pour solution, alors elle admet aussi 2 − i.
VraiFaux
Exercice 5
Les solutions de z² + z + 1 = 0 ont la même partie réelle. Laquelle ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 6
Donne la partie imaginaire positive d’une solution de z² + z + 1 = 0, arrondie au millième.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 7 — Coche la bonne réponse.
Quelle est la factorisation de z³ − 8 ?
- (z − 2)(z² + 2z + 4)
- (z − 2)(z² − 2z + 4)
- (z − 2)³
- (z + 2)(z² − 2z + 4)
Exercice 8
On sait que z³ − 3z² + 4z − 2 = (z − 1)(z² − 2z + 2). Calcule le produit des trois racines.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 9 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque équation à ses solutions.
- 1. z² = −4
- 2. z² + 4z + 5 = 0
- 3. z² − 4z + 5 = 0
- 4. z² + 2z + 1 = 0
- A. 2 + i et 2 − i
- B. 2i et −2i
- C. −2 + i et −2 − i
- D. −1 (racine double)
Exercice 10
Résous dans ℂ l’équation z² − 6z + 13 = 0 en rédigeant.
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Équations polynomiales dans ℂ — S’entraîner
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Exercice 1
Réponse : 3i et −3i
−9 = (3i)², donc z² = (3i)² ⟺ z = 3i ou z = −3i.
Exercice 2
Réponse : -16
Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16.
Exercice 3
Réponse : 1 − 2i et 1 + 2i
Δ = −16 = (4i)².
- z =
- z = 1 ± 2i
Exercice 4
Réponse : Vrai
Pour P à coefficients réels, P(z̄) est le conjugué de P(z) : si P(2 + i) = 0, alors P(2 − i) = 0.
Exercice 5
Réponse : -0,5
Δ = 1 − 4 = −3 < 0.
- z =
- Partie réelle : − = −0,5
Exercice 6
Réponse : 0,866
Les solutions sont − ± i, et ≈ 0,866.
Exercice 7
Réponse : (z − 2)(z² + 2z + 4)
z³ − 2³ = (z − 2)(z² + 2z + 2²). On peut vérifier en développant : z³ + 2z² + 4z − 2z² − 4z − 8 = z³ − 8.
Exercice 8
Réponse : 2
Les racines sont 1, 1 − i et 1 + i.
- (1 − i)(1 + i) = 1 + 1 = 2
- Produit : 1 × 2 = 2
Exercice 9
Réponse : 1 → B · 2 → C · 3 → A · 4 → D
z² + 4z + 5 : Δ = 16 − 20 = −4, z = = −2 ± i. Pour z² − 4z + 5, on obtient 2 ± i. z² + 2z + 1 = (z + 1)².
Exercice 10
Exemple de réponse : Δ = 36 − 52 = −16 < 0, et −16 = (4i)².
L’équation a deux solutions complexes conjuguées : z₁ = = 3 − 2i et z₂ = 3 + 2i.
Vérification : z₁ + z₂ = 6 et z₁z₂ = 9 + 4 = 13.On applique la méthode du cours ; la somme 6 et le produit 13 confirment le résultat.
- Calcul de Δ.
- Formule des solutions appliquée sans écrire √ d’un négatif.
- Ensemble des solutions donné.
Calcule toujours Δ en premier, puis vérifie avec la somme et le produit des racines.
Exercices corrigés : 0 / 10
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Exercice 2 sur 10
CalculCalcule le discriminant de z² − 2z + 5.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 3 sur 10
QCMQuelles sont les solutions de z² − 2z + 5 = 0 ?
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 4 sur 10
Vrai ou fauxSi une équation polynomiale à coefficients réels admet 2 + i pour solution, alors elle admet aussi 2 − i.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 5 sur 10
CalculLes solutions de z² + z + 1 = 0 ont la même partie réelle. Laquelle ?
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CalculDonne la partie imaginaire positive d’une solution de z² + z + 1 = 0, arrondie au millième.
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QCMQuelle est la factorisation de z³ − 8 ?
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CalculOn sait que z³ − 3z² + 4z − 2 = (z − 1)(z² − 2z + 2). Calcule le produit des trois racines.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 9 sur 10
AssociationAssocie chaque équation à ses solutions.
Aide d’ULU pour cet exerciceExercice 10 sur 10
Question ouverteRésous dans ℂ l’équation z² − 6z + 13 = 0 en rédigeant.
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